Re: [問題] 邏輯小謎題

看板Inference (推理遊戲)作者icespeech (Ice)時間16年前 (2008/06/26 16:05)推噓7(7推 0噓 7→)

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做一下最後的嘗試好了 XD" 持 1/2 立場的人認為：在一顆是頭的情形下同義於有一顆是頭。然後無論任何情形都會有一顆是頭，所以在一顆是頭的情形下的機率為 1。到這邊看起來都沒什麼問題。接下來，題目說 "另一顆是頭的機率為多少？" 請問，認為 "在一顆是頭的情形下" 同義於 "有一顆是頭" 的人，要怎麼定義 "另一顆" 呢？如果今天丟出來是：兩面頭　一面頭　　　頭　　　字很明顯，以這樣的想法，"另一顆" 是一面頭的那顆。但如果今天丟出來是：　　兩面頭　一面頭　　　頭　　　頭請問另一顆是哪顆？如果你所謂的另一顆是兩面頭，表示你一開始選的頭是一面頭。如果你所謂的另一顆是一面頭，表示你一開始選的頭是兩面頭。這似乎就是持 1/2 論者所謂的 "先丟後丟" 的問題？但因為你勢必要決定一顆跟另一顆，所以所謂的先丟後丟，根本不是問題；或者說，根本是必然的。題目沒有規定另一顆一定要是一面頭的那顆，所以當一面頭那顆是頭的時候，另一顆是兩面頭的那顆也是有可能的，不然就自己幫題目設限了，這應該大家都同意吧？接著，我們來點古典機率的定義：某事件發生的機率 = 事件的情況數 / 所有的情況數。然後由條件機率的定義：條件下，某事件發生的機率 = (事件與條件同時發生的機率) / (條件發生的機率) = (事件與條件同時發生的情況數 / 所有情況數) / (條件發生的情況數 / 所有情況數) ............(★) 於是我們突然發現，我們一開始將"所有的情況"分為 "丟出來是一頭一字" 和 "丟出來是兩頭" 兩種。丟出來是一頭一字，有兩種情況。丟出來是兩頭，有兩種情況。這全部的四種情況加起來，就是"所有的情況"。而在本題中，"事件與條件同時發生" 意思就是 "丟出來是兩頭"，所以 "(事件與條件同時發生的情況數 / 所有情況數)" = (丟出來是兩頭 / 所有的情況) = 2/4 = 1/2。但．是．在條件機率分母的部分，我們將"所有的情況"分為 "丟出來是一頭一字" 和 "丟出來是兩頭" 之後在"丟出來是兩頭"的子集合裡，我們的"另一顆"有考慮一面頭的那顆，也有考慮兩面頭的那顆。然．而，我們在"丟出來是一頭一字"的子集合裡， "另一顆"卻只有考慮一面頭的那顆。所以這全部的"一顆、和另一顆"的情況加起來，並不是"所有的情況"。而是"條件發生的情況"。於是，用這種結果下去算，在 (★) 那個地方的算式就會變成：所求機率 = (事件與條件同時發生的情況數 / 所有情況數) / (條件發生的情況數 / 條件發生的情況數) 所以分子是上面算出來的 1/2，分母想當然是 1。於是算出來的答案是 1/2。這就是我之前一直說的 "樣本空間被自動縮減成符合條件的空間"，翻成這裡的話，就是：你在算分母的"條件發生的機率的時候"，把"符合條件的情況"錯當成"所有的情況"。講白話一點，在 "丟出來是一頭一字" 的那個子集合中， "一顆是字、另一顆是頭" 這種情況雖然不符合條件，但是它也包含在最原始的、毫不設限的母集合－ "所有的情況" 裡面。在算 "條件發生的機率"，換句話說， "條件發生的情況數" / "所有的情況"　　的時候，一樣要把這個 "一顆是字、另一顆是頭" 的情況放在這個式子的分母的 "所有情況" 的集合裡面。即使題目沒有提到它，即使它不符合條件，但是算古典機率的時候，所有不符合題目問的情況的東西也都包含在分母的宇集合裡面；而條件機率的定義式正是兩個古典機率相除的值。 == 看到這裡，如果能懂的話，就知道並不是我們對題目的理解有出入，而是 1/2 的算法是錯誤的。即使它看起來很直觀、很合理，但是它是錯誤的。錯誤的地方在於，在算"條件發生的機率時"，下意識用了新定義的樣本空間而不自覺。如果不懂的話，我已經沒辦法了 orz 只能請堅持答案是 1/2 的人拿題目去問自己的機率教授吧，如果他說答案是 1/2，那我認了 @ @ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.70.215 ※ 編輯: icespeech 來自: 140.113.70.215 (06/26 16:14)