Re: [問題] 用骰子選人當鬼
看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者isnoneval (虛物之海)時間12年前 (2012/11/29 23:32)推噓5(5推 0噓 1→)留言6則, 5人參與討論串3/10 (看更多)
1.
先證明小於 2 不可能。
如果期望值小於 2,那一定至少有一種情況是投了一次就決定的,
(若 E(X) < k 則 X 一定要在某些時候 < k 吧)
但是那種情況本身就佔了 1/6 的機率了,所以不可能。
2.
接下來我們來正式攻擊這個問題,先把解答空間正規化。
因為擲骰乃決定人選的唯一資訊,所以任何一種決定的情況,
一定是擲出了若干個號碼,並且該組號碼 (字串) 決定的人選是固定的。
那麼我們針對每個人選會被哪些字串選定來分成 7 個集合,例如:
S1 = { 123, 633, 44, ... }
S2 = { 55, 1244, 1245, ... }
...
這 7 個集合裡的字串會有以下的性質:
a) 7 個集合中不存在兩個字串使得一者為另一者的 prefix
(例:有 123 就沒有 1234,因為擲出 123 的時候就決定了,沒機會出現 1234)
b) 若 n(A) 代表字串 A 的長度,則 Σ (1/6)^n(A), A \in Si = 1/7
(機率合為 1/7,題目要求)
所有符合以上條件的 S1, ..., S7 就是這個問題 solution space。
(一言以蔽之,這很接近 Huffman coding
http://en.wikipedia.org/wiki/Huffman_coding )
那麼我們要追求的就是
字串長度期望值 = Σ n(A) * (1/6)^n(A), A \in S1, ..., S7
的最小值。
3.
我們現在要來說明字串的內容並不重要,並且等長的字串是可以互換的。
假設
S1 = { ..., 1313, ... }
S2 = { ..., 2345, ... }
如果我們把這兩個字串互換,解答的條件依然會成立。
再假設
S1 = { ..., 1313, ... }
S2 = { ..., 23451, ... }
S3 = { ..., 23452, 23453, ... }
S4 = { ..., 234541, 234542, 234543, ... }
如果我們把 1313 換成 2345,然後全部的 2345* 都換成 1313*,解答也依然成立。
4.
現在要用 3. 的引理來創造無窮遞降法的條件。
假設存在一個解,其中某個 Si 集合中,長度為某 k 的字串有 6 個以上,
例如 S1 = { ..., 4432, 4516, 1461, 1123, 4215, 4142, ... }
那麼我們可以利用 3. 的結論把這六個字串的 prefix 換成一樣的:
S1 = { ..., 4432, 4431, 4433, 4434, 4435, 4436, ... }
(因為 4432 的存在, 4/44/443 都不可能存在, 故 4516 → 4431 一定換得到)
然後我們可以把這六個字串合併,變成
S1 = { ..., 443, ... }
(因為擲出 443 之後下一個擲出什麼都一樣是選到 S1)
這時候我們得到了另一個解,而它的投擲數期望值變小了。所以原本的解並非最佳解。
也就是說若最佳解存在,它的七個集合中的任一個裡,同樣長度的字串不會超過 5 個。
5.
考慮 S1 中 長度為 t 的有 Nt 個,那麼
N1 * 6^-1 + N2 * 6^-2 + ... = 1/7 (S1 中的機率合要是 1/7)
如果 N1, N2, ... 都不超過 5,那就只有唯一解了──因為它就是 1/7 的六進位小數。
1/7 = 0.0505050505...
而我們手上的解正好就是如此,所以證明了它是最佳解。
6.
故表達這個解最簡單的型式是:
擲骰的點數 (0~5) 依序代表某六進位小數的位數,一旦擲到確定該數會落在
(0, 1/7), (1/7, 2/7), (2/7, 3/7), ... , (6/7, 1)
的其中一個區間即停止。
根據 3.4. 兩點,所有的最佳解都可以經由置換字串變成這個標準解。
這個解與這個證明可以推廣到任意 n 面骰,決定任意機率分佈 P1, ..., Pm 的 m 個人。
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