Re: [問題] 骰子預測

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者LPH66 ( )時間3年前 (2021/07/27 20:35)推噓3(3推 0噓 4→)

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※ 引述《ACGfans (ACGfans)》之銘言： : 你和另外兩個人參加一場遊戲 : 要預測一個百面骰的點數 : 可以選 1~100 其中一個正整數選過的數字其他人不能再選 : 最接近結果的為贏家 : Q1. 如果你是第一個猜的你會猜什麼數字? : Q2. 如果你是第二個猜的且第一個猜你前面的答案則你會猜什麼數字? : Q3. 如果你是第三個猜的且前兩個猜你前面的答案則你會猜什麼數字? 首先我想把推文回答的這個設定做一個合理擴充: : → arthurduh1: 2. 如果第三人可以選擇 A、B 兩種方案，獲勝期望值 07/27 02:35 : → arthurduh1: 相同，但一個對第一人較有利，一個較不利。那 07/27 02:35 : → arthurduh1: 第三人會如何做選擇？這個選擇傾向是公共知識嗎？ 07/27 02:36 : (2) 兩種方案期望值相同的話則選擇機率皆為50% 50% : 這個也是公共知識沒錯我把它擴充成: 如果每個人的所有最高期望勝率的選擇有不止一個時該人的選擇將是這些選擇中均勻隨機地選一個那麼以下有雷算是個認真的把各個細節機率拿出來討論的做法 (最後會附一個 TL;DR 版, 跳到第 11 頁就是了) 考慮第三人的策略在前兩人選了 x < y 的狀況下, 第三人有三種選擇: (1) 選 < x: 則選 x-1 有 (x-1)% 機會勝 (2) 選 > y: 則選 y+1 有 (100-y)% 機會勝 (3) 選 (x,y) 之中的數: 這裡要小討論一下了 -- 因為是存在能夠擠出那一點點勝率的選擇容易看出選這中間可以得到約是 (y-x)/2 % 的勝率不過如果能運用兩人同時勝利的規則的話可以多擠一點點: 例如前面選的是 50 和 80, 那選 65 能獲勝的範圍是 [58, 72] 15% 機會但選 64 能獲勝的範圍卻是 [57, 72] 有 16% 機會而能有 16% 機會的選項有很多個: 選 52 則獲勝範圍是 [51, 66] 也是 16% 選 78 則獲勝範圍是 [64, 79] 也是 16% 總得來說, 若 y-x 是偶數, 則第三人選中間可以有 [(y-x)/2 + 1]% 的勝率第三人的選擇有 (y-x)/2 - 1 種如果是奇數呢? 那兩邊只會有一邊是同時勝利例如已選 50 和 79, 則選 51~78 的所有數都能得到 15% 勝率若選 53 或 54 則獲勝範圍都是 [52, 66] 選 75 或 76 則獲勝範圍都是 [63, 77], 不管怎樣都是 15% 所以若 y-x 是奇數, 則第三人選中間可以有 [(y-x+1)/2]% 的勝率第三人的選擇有 y-x-1 種那麼, 第三人的選項就是這些當中勝率最高的選擇了 ==== 來到第二人以下為簡化討論設第一人選的 x <= 50 (另一半對稱) 第二人能在第一人選的 x 的兩邊選如果能夠使第三人和自己選在 x 的不同邊, 那離 x 越近最好例如若第一人選 48 第二人若選 47, 則第三人會選 49, 這樣第二人有 47% 勝率 (<= 47 勝) 第二人若選 54, 則第三人會選 46, 這樣第二人有 50% 勝率 (>= 51 勝) 有趣的是若第二人選 53, 則第三人有一半一半機會選 46 或 54 前者第二人勝率 50% (>= 51 勝), 後者第二人勝率 3% (只有 51,52,53 勝) 這時自己勝率的期望值只有 26%, 比前兩者都差那麼, 這裡能夠確定決策的是第三人不會選兩人中間的選擇這對應第一人選 >= 27 的範圍, 第二人的最佳選擇是 102-x 勝率都是 50% (>= 51 勝) 可以確定這裡沒有其他同樣勝率的選擇那如果第三人有機會選兩人中間呢? 上面的第三人選擇數就會納入考量了: 例如若第一人選 25, 則第二人選 76 會使第三人選中間有 26% 勝率由於差是奇數, 第三人會在 26~75 中均勻隨機選一個那第二人的勝率是: 第三人選 26 則 50% (>= 51 勝) 選 27 或 28 則 49% (>= 52 勝) 選 29 或 30 則 48% (>= 53 勝) ... 選 73 或 74 則 26% (>= 75 勝) 選 75 則 25% (>= 76 勝) 全部平均下來是 37.5% 如果第二人選 77, 則第三人選中間有 27%, 但只會選 27,29,...,75 那第二人的勝率是: 第三人選 27 則 49% (>= 52 勝) 選 29 則 48% (>= 53 勝) ... 選 73 則 26% (>= 75 勝) 選 75 則 25% (>= 76 勝) 全部平均是 37% 類似的討論可以看出, 當中間範圍越大則第二人自己會越吃虧大致上的勝率是比自己大的部份 + 中間範圍的約一半但如果比自己大的部份大到第三人會去選那邊則虧更大, 自己的勝率只剩下中間的一半例如這時如果第二人選 74, 則第三人選 75 有 26% 勝率比選中間更高, 自己就虧了因此這部份第二人的最佳選擇就會是靠近 2:1 的分界點的數值例如上例第一人選 25 時第二人最佳選擇是 75, 有 38.5% 勝率 (這裡我刻意跳過第一人選 26 的狀況, 這在下面會討論) ==== 於是終於來到第一人, 同樣設他選 <= 50 的數第二人的策略表示: 如果第一人選 >= 27 的數則第二人會把第三人選擇塞到自己的外側來吃掉大部份的勝率這樣第一人的勝率只剩下中間的一半因此他需要選這範圍之外的數, 讓第三人選兩人中間的範圍, 保住自己外側顯然讓自己外側越大越有利, 因為第二人會卡在 2:1 分界點上自己的勝率總得來說約是自己外側 + 另一邊的三分之一, 自然自己越接近 27 越好上面已經分析了選 25 的狀況, 這時第二人選 75 第三人的選項給第一人的勝率是: 第三人選 27 則 26% (<= 26 勝) 選 29 則 27% (<= 27 勝) ... 選 73 則 49% (<= 49 勝) 平均下來是 37.5% 若第一人選 26 呢? 第二人選 >= 76 則狀況和上面一樣, 第三人只能選中間這當中選 76 則有勝率 37.5% 最高然後第二人選 75 則是一個更有趣的狀況: 第三人的策略對已選 26, 75 的狀況時, 三段他都能選, 都有 25% 勝率因此第三人的可能策略是 25,27,28,...,73,74,76 這些全部第二人的這些狀況勝率平均起來將是 37.98%, 比 76 還好 (實際數字是 (38 - 1/50)%) 因此第一人選 26 時第二人會選 75 不過由於 26 和 75 對稱, 第一人的勝率將會和第二人一樣是 37.98%, 也比 25 還好所以這就是第一人的最終選擇了 ==== 因此最終結論是: 第一人 26, 第二人 75 (或對稱地第一人 75, 第二人 26) 第三人選 [25,76] 中未被選的任一數前兩人勝率 37.98%, 第三人勝率 25% ==== 把上面這一大串簡化到很簡單的說明就是這樣: (TL;DR 版) 把整段被前兩人選擇切成三段的話第三人勝率是小邊全部、或大邊全部、或中間的一半, 三者中最大的第二人要避免第三人吃掉自己的外側, 但又要讓外側儘量大因此會用中間 2 : 外側 1 的比例切第一人要避免第二人把第三人的選擇塞到自己這邊來, 但也要讓外側儘量大所以會選全範圍大約 1/4 的位置然而剛好在內切一點點的 26 / 75 位置時, 因為兩人同時勝利規則使得這時第三人的三個選擇都是一樣的而這個狀況裡就算第三人可能切到自己外側但因為 1:2:1 的分段關係自己的平均勝率沒有影響太多所以 26 / 75 就是前兩人的最終選擇就覺得一些東西相等的地方會有點微妙.... 數學版上有人的回答有點不一樣, 我想應該是 (1) 沒仔細考慮第三人的多重選擇 (2) 因此沒去細算剛好踩線的數值這樣的關係不過因為是在筆記本上邊寫邊整理, 應該是沒有算錯但還是可以幫忙檢查一下... -- Ace Snake Santa Clover Junpei June Seven Lotus 9th man cabin kitchen casino shower operating room laboratory ＴＨＥ chart captain quarter confinement torture room steam engine room cargo chapel library study incinerator Gigantic Q director office security ＮＯＮＡＲＹ archives control laboratory pec treatment garden pantry gaulem bay rec room crew quarters infirmary lounge elevator Tenmyouji Quark Dio ＧＡＭＥＳ Luna Phi Sigma Alice Clover K -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.177.0.237 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/puzzle/M.1627389303.A.910.html ※ 編輯: LPH66 (180.177.0.237 臺灣), 07/27/2021 20:35:17

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charlie1667

07/27 21:10, 3年前 , 1^F

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charlie1667

07/27 21:11, 3年前 , 2^F

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charlie1667

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