Re: [問題] 連分數
看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者stimim (qqaa)時間15年前 (2011/02/27 10:18)推噓1(1推 0噓 1→)留言2則, 2人參與討論串3/3 (看更多)
※ 引述《EIORU ()》之銘言：
: 有一個數字 = 0.abcdefg... a~g...代表數字(可相同)
: 1
: = 0 + -----------------------
: 1
: a + -----------------
: 1
: b + -----------
: 1
: c + -----
: ...(以此類推)
: 請問 這個數字存在嗎?
雖然內文沒有說，但是標題寫的是"連分數"，
因此假設 [0;a,b,...] 是一個連分數，由連分數的定義，
a,b,c,d,... 都是 "正整數"
(來源: http://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction)
因此 LPH66 的證明是對的。
我們也可以藉著構造一個這樣的數來反證他：
假設這個數存在，[0;a,b,...] = 0.ab..
1/(0.abcd...) = a.~
=> 10/(a+1) <= a.~ < 10/a
只有 a = 3 時， 2.5 <= a < 3.3333 符合
(a = 2 => 3.333 <= a < 5 不合,
a = 4 => 2.5 <= a < 2 不合)
1/(1/(0.3bc...) - 3) = b.~
0.3b < 0.3bc... <= 0.3{b+1}
1/(1/(0.3b) - 3) < b <= 1/(1/(0.3{b+1} - 3)
b = 0 : 3.~ < b <= 4.42857... 不合
b = 1 : 4.42857 < b <= 8.~ 不合
b = 2 : 8.~ < b <= 33.~ 不合
b = 3 : 33.~ < b 或 b <= -17.~ 不合
當 b > 4 時，1/(1/(0.3b) - 3) < 0
所以不存在這樣的 b ，和 LPH66 的結論是一樣的
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.228.151.15
推
02/27 13:29, , 1F
02/27 13:29, 1F
→
03/04 02:53, , 2F
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