Re: [問題] 一個問題數學想很久

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者tp (會吵的孩子有糖吃)時間16年前 (2009/06/18 23:03)推噓1(1推 0噓 0→)

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※ 引述《leads (leads)》之銘言： : ※ 引述《jerrylibra (GO)》之銘言： : : 這一題我算了好久 : : 題目是有一個2次函數 y=x^2+4ax+b : : 然後有一個區間 -1<x<1 然後對應 -1<y<2 : : 求 a,b是多少? : 推fjufly的講法原題的確無解(只考慮情況3 4) : 我把題目視為 : 有一個區間 -1≦x≦1 然後對應 -1≦y≦2 : Y=x^2+4ax+b : =(x+2a)^2+(b-4*a^2) : →可知此為一開口向上之拋物線，且x=-2a時(最低點) : 有極小值y= b-4*a^2 : →極小值可能落於x=-2a處，但極大值必落於x=1或x=-1處 : <情況1> (過最低點且範圍偏右) : -1≦-2a≦1 且-2a<0 : 條件 0<a≦1/2 : 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1 : 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2 : 所以a=-1或a=0(皆不合) 算錯了 a = -1/2 + √3/2 b = 3 - 2√3 : <情況2> (過最低點且範圍偏左) : -1≦-2a≦1 且-2a>0 : 條件 -1/2 < a<0 : 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1 : 極大值f=( -1 )=1-4a+b=2 : 所以a=1/2- √3/2 : b=3-2 √3 : <情況3> (不過最低點且範圍偏右) : -2a<-1 : 條件 a>1/2 : 極小值=f( -1)= 1-4a+b =-1 : 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2 : 所以a=3/8(不合) : b=-1/2 : <情況4> (不過最低點且範圍偏左) : -2a>1 : 條件 a< -1/2 : 極小值=f( 1)= 1+4a+b =-1 : 極大值=f( -1 )=1-4a+b=2 : 所以a=-3/8(不合) : b=-1/2 : <情況5> (過最低點且範圍置中) : -2a=0 : 條件 a=0 : 極小值=f(-2a)=b-4*a^2=-1 : 極大值=f( 1 )=1+4a+b=2 : F(-1)=1-4a+b=2 : 所以a=0 : 由極小值:b=-1 : 由極大值:b= 1 : (故無解) : 所以情況1、3、4、5皆無解 : 本題恰有一解即 : a=1/2- √3/2 : b=3-2 √3 : 遲來的真相 : http://photo.xuite.net/v22111024 如果條件改成 -1≦x≦1 -1≦y≦2 的話那我肯定會有兩解，一定不只一解從圖形的角度來看很容易就可以證明二次函數可以改寫成 y = A(x+B) + C 其中A是控制拋物線的曲率、形狀 B和C只會影響到頂點的位置原題y=x^2+4ax+b 很明顯 A = 1 也就是這個二次函數的圖形長得和y=x^2一樣，只是因為頂點位置不同，整個平移而已現在考慮一下y=x^2，假如任取一段x區間為2的線段且不包含頂點則y的變化量至少也要4 回到原題目 -1≦x≦1 => x區間為2 -1≦y≦2 => y的變化只有3 所以頂點不能超出-1≦x≦1的範圍 (leads所說的情況3、4是不合的) 如果頂點在x=0的地方呢? 又可以很容易看出y的變化量最大為1 但y的變化量為3，所以不合 (leads所說的情況5不合) 將圖形上下左右移動一下就會發現只能有兩個拋物線合乎題目的條件其中一條拋物線頂點在-1≦x≦0、另一條拋物線的頂點在0≦x≦1 (leads所說的情況1) (leads所說的情況2) 所以本題有兩解 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.67.187 ※ 編輯: tp 來自: 140.112.67.187 (06/18 23:06)

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