Re: [問題] 100!的結尾

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者LPH66 (信じる力奇跡起こすこと)時間6年前 (2019/12/28 03:50)推噓0(0推 0噓 0→)

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: 推 stimim: 心算好像也不是不行，很勉強就是了，先把 5 和 2 算完 12/26 19:43 : → stimim: 奇數的部份只考慮尾數 1 3 7 9 ，一組乘起來還是 9 12/26 19:44 : → stimim: 偶數的部份除一次 2 會有一半變奇數，就用奇數的方法解 12/26 19:47 : → stimim: 剩下的偶數再除 2 又有一半變奇數，直到只剩一個數為止 12/26 19:48 是說, 如果只是要快速紙筆算的話, 用↑這些東西其實就足夠了: 在紙上寫出所要求的 n, 然後在旁邊和下面寫成一張表; 以 100 為例會寫成這樣: 100 50 25 12 6 3 1 20 10 5 2 1 4 2 1 寫表的規則是往右除以 2 向下取整, 往下除以 5 向下取整, 寫到 0 為止接下來的動作是: (A) 把這些數十位以上的部份每 20 消掉, 如果有剩下 10 則記下兩個「3」這裡 100 和 20 自己消掉, 50 消掉兩個 20 剩下的 10 和它下面的 10 對消 25 的 20 消掉, 剩下 12 的 10 (B) 個位數把 1 2 7 8 劃掉, 3 4 5 6 合起來數個數當做「3」, 9 算兩個「3」累積四個則可以一起消掉這裡劃掉後合計一共五個「3」, 去掉四個剩下一個 (C) 求出 (A)(B) 總共多少個「3」, 求 3 的這麼多次方的個位數這裡總計三個「3」所以個位是 3^3 = 27 → 7 這部份是在計算扣掉 2 和 5 的因數之後剩下的部份乘積的個位數表中的數字表示我們需要考慮 1 到此數之間所有個位是 1 3 7 9 的數乘起來偶數部份把所有數拿掉一個 2 後即是由表中它右邊的數負責五的倍數部份也是同理, 由表中它下面的數負責所以到最後表中每一格都負責了一部份數 (2 和 5 有特定個數的數會給同一格負責) 然後對每一格求乘積, 利用兩組 1 3 7 9 乘起來個位是 1 消掉 20 一組 1 3 7 9 乘起來個位是 9 = 3*3, 個位剩 9 也是這邊然後個位餘數, 1 2 的乘積只有 1, 3 4 5 6 是 1*3 = 3, 7 8 是 1*3*7 = 21 所以劃掉 1 2 7 8, 收集 3 4 5 6 每個為乘積個位貢獻一個 3 接著就求 3 的這麼多次方的個位即可, 週期是 3-9-7-1 所以每四個「3」也可以消掉 (D) 再來要求表最上列的和減去表最左行的和, 當然最左上自己消掉所以不管剩下的最左行的和會很接近最上列左數第三個數 (n/4), 和它消掉最上列其餘的數總計時把 4 的倍數也消掉最後剩下的總和就求 2 的次方的個位數這裡最左行總和是 24, 和 25 消掉剩 1 50 餘 2, 12 倍數, 6 餘 2 和 50 消, 3 和 25 剩下的 1 消, 剩下 1, 2^1 = 2 很容易發現這裡就是在算乘積中 2 的次方有多少剩下的最左行的和會接近 n/4 的理由是 (1/5)/(1-1/5) = 1/4 差距通常會只有 1~2, 不過還是要算一下避免出事 (這裡可以只用個位求和來求差距, 因為結果總是不大且減完一定有剩) 然後總計時消掉 4 的倍數同樣是利用 2 的次方個位週期 2-4-8-6 這裡要稍微注意的是如果消光了那這裡應該要押 2^4 = 16 的 6 不是 2^0 = 1 (E) (C)*(D) 的個位即是最終答案了: 7*2 = 14 → 4 得 100! 末位非零是 4 這樣寫了很大一篇但實際操作起來就是劃掉劃掉再劃掉最後剩下的結果就能馬上心算求得答案我自己實驗過用這樣的劃法算 1000! 的末位非零大概一分鐘左右就有答案 [答案是 2] 應該算是個不錯的紙筆速算法 -- 'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done one thing to make absolutely sure that every single person in this school will read your interview, it was banning it!' ---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.177.3.123 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/puzzle/M.1577476225.A.24D.html