Re: [問題] 兩題無窮

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者jurian0101 (Hysterisis)時間13年前 (2012/06/08 00:38)推噓4(4推 0噓 4→)

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※ 引述《ddtddt (得)》之銘言： : 2. : 根號(1+2*根號(1+3*根號(1+4根號(.... =?? : ________________________________ : / _______________________ : / / ______________ : \/ 1 + 2 \/ 1 + 3 \/ 1 + 4 ........ 以下傷眼兼有雷注意 = = 理論上這樣的"實質無窮"要從"潛在無窮"來逼近，也就是寫成<A_n> n->Inf 來看那A1=1, A2=Sqr(1 + 2), A3=Sqr(1 + 2 Sqr(1 + 3)) ... 遞增，必定那上界呢...根本看不出來這式子裡的"看不出的無限"實在是麻煩了好，我先偷換成 f = Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + x Sqr(1 + ... 如何因為 f^2 - 1 = x f , f = x/2 + Sqr(x^2 + 4)/ 2, 反過來補證明 <f_n> 遞增, check。有上界, check 例如取 f < x+1, 當x很大。所以f(x) 對所有實數x都收斂到一個約等於x的數 ..還是無法直接用在原式，因為無窮層根號裡有個無窮雖然直覺上這個factor 應該抵不過 ^(- 2^n) ，或是說開n次根號這個劇烈減小的作用啦 * * 那我轉而求另一個值求靈感，假裝原式裡的所有1都是0。 y = Sqr( 2 Sqr( 3 Sqr( 4 Sqr( 5 Sqr( ... 事實上應該只有前面幾個1被拿掉有比較大的影響，後面反正 [第一] 1 遠小於加號後的項 [第二] 1 位在n重根號裡面所以這個值應該比原式－－如果收斂的話－－小一點點，是不錯的估計值 Log y = Sum [Log[n] 2^(1-n), {n, 2, Infinity} ] l.h.s 算式丟到Mathematica算得到 = -2 (PolyLog^(1,0))[0,1/2] 表示成特殊函數了 N[%] = 1.01567 Exp[%] = 2.67121 喔喔，所以可以想像原式應該比2.67大一點點而已 * * 好吧，還是沒有很好的方法可以證明其收斂性，只是我沒時間了所以直接跳這很欠揍問題的理論上的答案 ___ 3 = V 9 __________ = V 1 + 2 x 4 ___________ = V 1 + 2 V 16 __________________ = V 1 + 2 V 1 + 3 x 5 ___________________ = V 1 + 2 V 1 + 3 V 25 __________________________ = V 1 + 2 V 1 + 3 V 1 + 4 x 6 = ...我是無限延伸的刪節號... = 原式 3 的確比 2.76 大一點點，不管你怎想，這答案反正我是信了。謝謝LPH66指點。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.213.88 ※ 編輯: jurian0101 來自: 140.112.213.88 (06/08 00:39)