[問題] 數學題（P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2）

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者jurian0101 (小維)時間16年前 (2010/01/30 22:36)推噓0(0推 0噓 0→)

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有一個實係數多項式 P(x) ， deg P(x)= 2n (n是正整數) 滿足P(x)的值恆大於零。試証明總可以找到某對實係數多項式 Q(x)、R(x)，使得 P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 這是大前年某大杜鵑花節某系拿來作有獎徵答考高中生的題目。使用的技巧全部是數學的，但解起來真有點Puzzle的味道。解開也有類似數獨解謎完了的一份快感。我自己想了快四天，然後忽然就瞭了。在此炫耀一下，爽啦(ed)。期待各位對本題的秒殺、肢解、碾碎、鮮血淋漓碎骨亂飛腦漿四溢.......PUZSAW!! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 參考解答(開燈): 遇到分解式，先有什麼想法呢？二項式定理......無窮級數，淘汰。那泰勒展開式......一樣無窮級數，淘汰。那我令 Q(x) = P(x)*siny R(x) = P(x)*cosy 好了謎音: 廢柴！那還是無窮級數。接下來想的和企鵝大類似，開始設a1 a2 a3 a4 開始配方。於是進入長達三天的無限鬼打牆然後某論壇的某h大指出了重點(雖然沒提出具體解法) －從題目的條件可以看出偶次多項式領導係數為正，然後k次微分...(略)...沒有實根!!!!!! 好吧。跟解謎語差不多，當你知道關鍵在無實根大概就解出來了。意思是: P(x)= Q(x)^2 + R(x)^2，何不這樣「分解」 = [Q(x)+iR(x)]*[Q(x)-iR(x)] ˍ ˍ ˍ P(x)恆大於零，表示方程式P(x)=0 必有N 對共軛虛根。設他們為 z1z1 z2z2 z3z3... ˍ ˍ 重根完全沒有關係，於是P(x)=(x-z1)(x-z1)(x-z2)(x-z2)... 於是Q(x)+iR(x) = 以上每對括號任選一，乘開後實部虛部分離，就是兩個現成的實係數多項式。怎麼知道這樣的Q(x)、R(x)滿足要求呢？只要看沒選到的另一半是這一半的共軛而Q(x)-iR(x) 和 Q(x)+iR(x) 亦互為共軛就知道QED了~~~^^ 又從這個構造解法我們可以知道若沒有重根，滿足條件的Q(x) R(x)最多有 2^N種蠻直截了當又可愛的解法不是嗎。 = = = = = = = = = = = = = = =以上解答的分隔線= = = = = = = = = = = = = = = = = 謝謝EIORU大與企鵝大的解答。 ※ 編輯: jurian0101 來自: 218.164.22.129 (01/31 20:36)