PTT遊戲區 / Touhou (東方同人遊戲)

[ ⑨ ] 彈幕決鬥益智問題

看板Touhou (東方同人遊戲)作者 (霧丸)時間11年前 (2014/09/04 18:54), 11年前編輯推噓25(25推 0噓 63→)
留言88則, 9人參與, 最新討論串1/6 (看更多)
這是一題與數學有關的有獎徵答，第一位答對者給予稅後3000P。 對於喜歡研究者應該不太困難，不過仍然有其有趣之處。 抱歉，經過重新思考，現在的狀況如下： 題目不用更動，原本的題目就有單一正解。 採取此策略的獲勝率（從你一開始行動前計算）有六成以上。 -- 你是一名幻想鄉中的鄉民。由於對彈幕決鬥有極大興趣，你花了不少功夫苦練。 某日，在神社舉辦的一場宴會中，你有幸與靈夢和魔理沙進行三人之間的彈幕決鬥。 考量到彼此的經驗差距，這場比賽採取以下的規則進行： 1. 三人在場地中站定位，不能閃躲，以回合制的方式行動。 被擊中者退出比賽，剩餘的人繼續行動至分出勝負為止。 2. 首先，由你進行攻擊，然後由靈夢和魔理沙同時進行攻擊，之後重複此順序。 如有人退出比賽，則忽略他的行動。 3. 行動者可以選擇任何一名參加者攻擊，也可以選擇放棄攻擊。 你們三人攻擊的命中率為：靈夢90%、魔理沙80%、你70% 並且你被以下的特殊規則所保護： (1) 只要魔理沙還沒有退出比賽，靈夢就不能攻擊你。 (2) 你必須被擊中兩次才會退出比賽。 但是，如果在靈夢還沒有退出比賽時，你被魔理沙擊中，則此項規則無效。 靈夢和魔理沙都對比賽獎品很有興趣，你則將擊敗這兩人視為最高榮譽。 你們會盡全力讓自己成為最後剩下的一人，並且考慮其他人所有能想到的場面。 除了自己的勝利外，你們之間無冤無仇，也都不會在乎其它人是否可能得到好處。 比賽開始，現在輪到你行動。請問你最佳的策略為何？ -- 想要挑戰者可以寫信給我或是直接在板上討論，回答時必須列出推論過程。 推論過程不用詳細列出所有數據，只要把關鍵的地方講清楚即可。 當然，如果答案正確但推論過程有漏洞，仍然不視為答對。 P.S. 這是真正的數學問題，所以請放心。 答案不會是投賽錢或是塞香菇保命這種內容。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.163.84.235 ※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Touhou/M.1409828062.A.509.html
→
09/04 18:57, , 1F
直覺告訴我第一發故意打空。為什麼我不知道。
09/04 18:57, 1F
推
09/04 19:00, , 2F
我想畫機率樹，可是好麻煩XD
09/04 19:00, 2F
→
09/04 19:00, , 3F
要這樣做的話不用故意 宣言放棄攻擊(規則有寫)就好了
09/04 19:00, 3F
→
09/04 19:01, , 4F
而且靈夢跟魔理沙也能選擇不攻擊，這部分該怎麼考慮還不
09/04 19:01, 4F
→
09/04 19:01, , 5F
清楚
09/04 19:01, 5F
推
09/04 19:07, , 6F
我的策略是全力盡可能打中靈夢 但是面對魔理莎要打偏
09/04 19:07, 6F
→
09/04 19:08, , 7F
無論如何必須要讓魔理莎在她的回合贏靈夢最後再收魔理莎
09/04 19:08, 7F
靈夢和魔理沙是同時攻擊喔，這和常見的題型不太一樣 他們會決定好自己的行動然後同時進行，並且直接產生結果 (彈幕飛行速度這種空想科學問題在本題目中可以忽略) 當然，如果他們其中之一出局了，你和剩下的人就是輪流行動
推
09/04 19:23, , 8F
我會選擇攻擊靈夢，有中的話我會多獲得一命，即使沒中也
09/04 19:23, 8F
→
09/04 19:24, , 9F
只須面對命中率較低的魔理沙，何況魔理沙還不一定會打我
09/04 19:24, 9F
推
09/04 19:46, , 10F
回一個冰精數學教室的答案好了:沒時間推算了，那答案就是
09/04 19:46, 10F
→
09/04 19:46, , 11F
看誰不順眼就打誰!
09/04 19:46, 11F
推
09/04 19:55, , 12F
應該是先打靈夢>先打魔理莎>>不做事 不過勝率都<25%
09/04 19:55, 12F
→
09/04 19:55, , 13F
將近2年沒碰數學了 可能有算錯
09/04 19:55, 13F
→
09/04 19:57, , 14F
主要是要先計算出不做事的結果 這在3種情況都要用到
09/04 19:57, 14F
→
09/04 19:59, , 15F
這個情況我算的話勝率大概是13~14% 然後再回頭討論另兩
09/04 19:59, 15F
→
09/04 20:00, , 16F
種情況 未擊中的0.3就直接套用不做事的情況 只額外計算
09/04 20:00, 16F
→
09/04 20:08, , 17F
不對 我剛剛忘記加上擊中後的情況了
09/04 20:08, 17F
→
09/04 20:09, , 18F
勝率應該是不做事>靈夢>魔理莎 忘記乘0.3
09/04 20:09, 18F
→
09/04 20:10, , 19F
數字上應該是20%>15%>10%
09/04 20:10, 19F
推
09/04 20:10, , 20F
驗算了一下，果然直覺不做事是對的。
09/04 20:10, 20F
→
09/04 20:11, , 21F
靈必打魔，你有兩命而比靈弱，魔也當不先打你。
09/04 20:11, 21F
→
09/04 20:12, , 22F
在一對一而你有兩命的情況下，你的勝率最高。
09/04 20:12, 22F
魔理沙有特殊規則，在靈夢還在的情況下，他可以直接砲掉你的兩命
→
09/04 20:13, , 23F
再，最可能是第一回合靈和魔互相命中，你便不戰而勝了。
09/04 20:13, 23F
推
09/04 20:15, , 24F
可是依照規則，三人都可以選擇不做任何事，如果魔靈考慮
09/04 20:15, 24F
→
09/04 20:15, , 25F
到你不做任何事的情況下，他們可能採取別的行動嗎?
09/04 20:15, 25F
推
09/04 20:15, , 26F
沒看到2命規則 那直接打魔理莎勝率是最高的 應該有5成
09/04 20:15, 26F
推
09/04 20:16, , 27F
以幻想鄉的規則來說這時應該出現意外狀況，你出數學題就
09/04 20:16, 27F
→
09/04 20:16, , 28F
不應該用東方的人物。
09/04 20:16, 28F
如果就意外狀況這點來說，我有信心不會讓你失望喔
推
09/04 20:19, , 29F
只要第一發擊中魔理莎勝率就有7成多 這是其他選擇不會
09/04 20:19, 29F
→
09/04 20:19, , 30F
發生的
09/04 20:19, 30F
推
09/04 20:22, , 31F
比較簡單的推導就是這個比試中優勢是我>魔>靈 我同時有
09/04 20:22, 31F
→
09/04 20:23, , 32F
先手和完全的目標選擇權 魔理莎只有目標選擇權 靈夢完
09/04 20:23, 32F
→
09/04 20:24, , 33F
全沒有優勢(不考慮過人的運氣) 而且在我單打靈夢的情況
09/04 20:24, 33F
→
09/04 20:25, , 34F
還有2命規則的適用 不做事/打靈夢只是自我放棄2命規則
09/04 20:25, 34F
推
09/04 20:26, , 35F
如果在靈夢還沒有退出比賽時，你被魔理沙擊中，則退出
09/04 20:26, 35F
→
09/04 20:27, , 36F
換言之，在靈夢已退出的情況下，魔理沙仍須2下才能擊殺
09/04 20:27, 36F
→
09/04 20:27, , 37F
鄉民對吧
09/04 20:27, 37F
→
09/04 20:27, , 38F
對，無論靈夢是怎麼退出的都一樣
09/04 20:27, 38F
推
09/04 20:34, , 39F
問個問題 只剩靈夢和魔理沙時他們互相擊中對方怎麼算
09/04 20:34, 39F
→
09/04 20:37, , 40F
一起死，無獲勝者，BBA將獎品收回去，皆大歡喜
09/04 20:37, 40F
我把題目分成兩種，可以針對任一種回答，都有獎金
推
09/04 20:41, , 41F
如果我沒擊中或沒出手，那輪到魔靈時，不論摩理沙打誰存
09/04 20:41, 41F
→
09/04 20:42, , 42F
活率好像都是0.1，所以理論上摩里沙應該會選擇做掉靈夢換
09/04 20:42, 42F
推
09/04 20:43, , 43F
這是最佳化策略的題目阿 -.- 可是我覺得問機率答案
09/04 20:43, 43F
→
09/04 20:43, , 44F
取接下來較高的勝率，然後接下來的我還要再想想...
09/04 20:43, 44F
→
09/04 20:43, , 45F
會比較明確
09/04 20:43, 45F
→
09/04 20:43, , 46F
問機率比較麻煩，因為那個分數還蠻噁的......
09/04 20:43, 46F
→
09/04 20:44, , 47F
我覺得乾脆畫樹狀圖列出所有可能情況算了
09/04 20:44, 47F
那棵樹蠻大的，很容易亂掉 我建議用c55110110的方法先算出部分結果，再用它來算更複雜的結果
推
09/04 20:45, , 48F
我是記得有一條機率函數是專門算這種"連續重複試驗"
09/04 20:45, 48F
→
09/04 20:46, , 49F
因為只要沒有決出結果則繼續重複試驗
09/04 20:46, 49F
提供一個簡單例子(算提示不過很小，只是方便思考) 靈夢和魔理沙互噴的場合 72%全滅 18%靈夢勝 8%魔理沙勝 2%沒事 因為有沒事的那一部份，所以繼續算下去會面臨無窮級數，雖然算的出來不過有點麻煩 這時有一個簡單的算法 那2%沒事就當成沒發生過，繼續進行下一輪行動 剩下的98%就可以囊括所有的最終結果 因此靈夢的存活率為 18%/98% = 9/49 魔理沙的存活率為 8%/98% = 4/49
推
09/04 20:52, , 50F
這種題目畫樹狀圖不能算到精準答案 要去找機率模型
09/04 20:52, 50F
※ 編輯: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 20:55:14
→
09/04 21:01, , 51F
從靈夢的角度開始看比較容易吧
09/04 21:01, 51F
→
09/04 21:02, , 52F
因為靈夢就只有攻擊魔理沙 或不攻擊兩種
09/04 21:02, 52F
推
09/04 21:06, , 53F
要算的話還要去找 .... -.-a 有點懶
09/04 21:06, 53F
推
09/04 21:21, , 54F
另外兩個人進行攻擊是否是隨機?分別抽or同時抽?
09/04 21:21, 54F
→
09/04 21:23, , 55F
另外兩個人選擇自己最有利的策略 然後同時攻擊
09/04 21:23, 55F
→
09/04 21:24, , 56F
不是隨機 他們會考慮打誰能讓自己比較可能拿到獎品
09/04 21:24, 56F
※ 編輯: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 21:24:18
→
09/04 21:27, , 57F
另外，獎品一定(最多)只有一人能拿到
09/04 21:27, 57F
→
09/04 21:27, , 58F
所以絕對不會有任何共謀的情形發生
09/04 21:27, 58F
推
09/04 21:29, , 59F
那就不用算了...先尻死魔理沙,然後尻死靈夢>>>結案
09/04 21:29, 59F
※ 編輯: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 21:40:57
→
09/04 21:49, , 60F
靈夢的狀況 攻擊魔理沙 且魔理沙沒攻擊她 成功的話
09/04 21:49, 60F
→
09/04 21:50, , 61F
就是跟玩家對射 要躲過至少兩發才能贏
09/04 21:50, 61F
→
09/04 21:51, , 62F
這樣相比 不動等魔理沙幹掉玩家勝算應該高一點
09/04 21:51, 62F
→
09/04 21:51, , 63F
魔理沙選攻擊靈夢的話狀況也一樣
09/04 21:51, 63F
→
09/04 21:52, , 64F
這樣這邊的問題是 如果玩家第一輪pass
09/04 21:52, 64F
→
09/04 21:52, , 65F
被魔理沙打掉 那靈夢和魔理沙的行動順序是?
09/04 21:52, 65F
推
09/04 21:53, , 66F
這不用管吧XD 題目只管你的而已XD
09/04 21:53, 66F
→
09/04 21:56, , 67F
剩兩人時其實就不可能pass了 因為只能留一個
09/04 21:56, 67F
→
09/04 21:56, , 68F
所以他們兩個就是每回合同時對射到有人中標為止
09/04 21:56, 68F
→
09/04 21:57, , 69F
這很重要阿 因為這影響魔理沙跟靈夢的決策
09/04 21:57, 69F
→
09/04 21:57, , 70F
這個機率會影響靈魔兩人的思考 所以還是要計算
09/04 21:57, 70F
→
09/04 21:58, , 71F
然後他們會只想留到最後 同歸於盡價值等於讓對方贏
09/04 21:58, 71F
→
09/04 21:58, , 72F
這樣 以魔理沙角度而言 先打掉靈夢的話 跟玩家對射
09/04 21:58, 72F
→
09/04 21:59, , 73F
勝算是 30%*80%*30%*80% =9%*6.4%=5.76%
09/04 21:59, 73F
→
09/04 21:59, , 74F
先打掉玩家跟靈夢對轟 勝算是 8%
09/04 21:59, 74F
→
09/04 22:00, , 75F
如此 玩家如果第一輪pass 魔理沙肯定先轟玩家
09/04 22:00, 75F
→
09/04 22:00, , 76F
那玩家就有80%機率出局 所以玩家不能選擇pass
09/04 22:00, 76F
→
09/04 22:00, , 77F
不能pass狀況下 就是轟掉誰的問題
09/04 22:00, 77F
推
09/04 22:01, , 78F
先算存活期望值就對了
09/04 22:01, 78F
→
09/04 22:01, , 79F
不管轟掉誰 都是拿兩命跟剩下的對打
09/04 22:01, 79F
→
09/04 22:01, , 80F
那自然是轟比較強的靈夢
09/04 22:01, 80F
→
09/04 22:01, , 81F
所以玩家最好的選擇就是攻擊靈夢
09/04 22:01, 81F
→
09/04 22:02, , 82F
這邊我跳過了靈夢的角度 如果玩家pass
09/04 22:02, 82F
→
09/04 22:03, , 83F
henry1234562除了魔理沙vs玩家的勝率有點算錯外，
09/04 22:03, 83F
→
09/04 22:04, , 84F
所有的推論過程都是正確的，但是答案不是正解
09/04 22:04, 84F
→
09/04 22:04, , 85F
再想想吧，這題確實不能只用正常的方式來想
09/04 22:04, 85F
推
09/04 22:04, , 86F
魔理沙剩率太低了 怎麼沒抗議比賽不公XD
09/04 22:04, 86F
這種問題(不管典型或是我變化過的) 確實最悲劇的都是第二位，存活率會慘到很絕望XD ※ 編輯: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 22:05:58
推
09/04 22:09, , 87F
先攻擊靈夢需要冒著第一回合就被淘汰的風險
09/04 22:09, 87F
推
09/04 22:14, , 88F
題目改過了好像打誰第一回合被淘汰的風險都一樣-.-a
09/04 22:14, 88F
‣ 更多 kirimaru73 的文章
文章代碼(AID): #1K24JUK9 (Touhou)
Touhou 近期熱門文章
更多 近期熱門文章 >>
PTT遊戲區 即時熱門文章
更多 即時熱門文章 >>
‣ 更多 kirimaru73 的文章
文章代碼(AID): #1K24JUK9 (Touhou)