[閒聊] 4打5真的只是少一個人嗎？團戰勢能模型
我目前正在撰寫一份給高中生看的 "從遊戲中學習建模"教材
有一部分跟LOL有關 還是個草稿 沒有附圖 力求有趣及淺顯易懂
(以下範例主要以英雄為主 但小兵也同樣適用)
請大家幫我看看寫的如何
二股戰鬥勢力交戰
假設藍方對紫方的單體DPS是Ab 紫方對藍方的單體DPS是Av
藍方的單體生命值為Hb 紫方的單體生命值為Hv
藍方的單位數量為Nb 紫方的單位數量為Nv
雖然我們可以用微分方程來求解對戰結果
但是寫給高中生看的內容顯然不適合微分方程
也就是我們不去求解Nb(t)與Nv(t)
而是跳過時間因素 直接去求解戰鬥結果
雖然DPS(每秒造成的傷害)看起來跟時間有關 我們直覺似乎應該對時間積分
但是總DPS=N x A與時間t呈現一個曲線關係 算起來很麻煩
於是我們改為對總血量N x H積分 這樣積分只是2個三角形 直接算三角形面積就好 會變
得很簡單
藍方的三角形是高為Nb x Ab 底為Nb x Hb
紫方的三角形是高為Nv x Av 底為Nv x Hv
若二股戰力都採用相同戰術 例如集火敵方單一目標
且二股戰鬥勢力剛好相互殲滅 則有
(1/2)(Ab x Hb)(Nb)^2=(1/2)(Av x Hv)(N_v)^2
這個模型可以用一個思想實驗來表達 假設藍方英雄數量比較少但是等級裝備比較好 面對
紫方數量較多但是裝備等級較低的英雄
結果兩方相互殲滅
就像一個比較短比較硬的彈簧A(藍方)用一個鐵塊把它壓到最緊
放開鐵塊讓它在一個無摩擦力的表面滑行 碰到另一個比較長比較軟的彈簧B(紫方) 然
後這個鐵塊恰好可以把彈簧B壓到最緊
我們可以令K=A x H=戰力係數 就是英雄的質量
純坦：有H(血量)沒A(傷害)
玻璃大砲:有A沒H
大魔王(如疊滿層數的科加斯或裝備領先的賈克斯)：A x H 很高 就像一根超硬短彈簧 雖
然只有一個單位 但儲存的勢能高到能壓扁對方一整條軟彈簧
則戰鬥勢能(免去不必要的1/2)P=KN^2
意思是 戰鬥力跟數量平方成正比
也就是 團戰時如果是4隻英雄對5隻英雄 戰力並不是4:5 而是16:25
為什麼4打5不是0.8倍戰力？
很多人直覺以為4人戰力是5人的80%
但是帶入公式：
4^2 = 16
5^2 = 25
4 人的戰鬥勢能只有 5 人團的 64%。
這就是為什麼少一個人團戰就幾乎必輸 因為你們的勢能差了將近一倍
戰鬥的結果是二個戰鬥勢能相減 也就是P_b-P_v=P_r(假設藍方戰鬥勢能較高)
然後把P_r帶回公式我們可以求出剩餘的單位數
簡單的說 如果雙方K值相等 數量是2:1 直覺認為打完後藍方會剩下50%的數量
但其實公式告訴我們 藍方會剩下大約86.6%的數量
精確的公式如下:
Nbr(藍方剩餘數量)=[Nb^2-Nv^2(Kv/Kb)]^(0.5)
進階思考:如何求出交戰當下雙方的數量關係?
我們不要去管時間 我們把握一個原則：能量守恆
在戰鬥的任何一個瞬間 雙方消耗掉的戰鬥勢能必定相等
令Xb為藍方戰鬥當下剩餘數量 Xv為紫方戰鬥當下剩餘數量
藍方消耗的勢能:Kb(Nb^2-Xb^2)
紫方消耗的勢能:Kv(Nv^2-Xv^2)
因為互相消耗的能量相等 所以：
Kb(Nb^2-Xb^2)=Kv(Nv^2-Xv^2)
如果我們想隨時從紫方剩下幾個人(X_v）反推藍方現在剩下幾個人(X_b) 只要把公式稍微
移項整理 就會得到：
X_b=[Nb^2-(Kv/Kb)(Nv^2-Xv^2)]^0.5
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給高三讀過微積分的學生看的教材
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其實這個模型最適合的就是即時戰略小兵平A過去的玩法
可是問題是現在的高中生不玩即時戰略啊~
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對 就是蘭徹斯特平方律 但是蘭徹斯特是用微分方程推導 高中生看不懂
所以改成平易近人的三角形跟彈簧勢能
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