Re: [問題] 重力火車

看板Inference (推理遊戲)作者euleramon (界王展開式)時間15年前 (2009/08/12 01:35)推噓4(4推 0噓 3→)

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※ 引述《Nick12101 (阿楷)》之銘言： : 假設現有一火車 : 這火車可穿越地底，直達地球的另一端 : (請把技術問題與空氣磨擦力因素排除在外) : 例如從台北到亞松森 : 請問要花多少時間呢(只運用地球重力當速度) 現在高中不知道還有沒有教簡諧運動 @@"... 回答這問題可以假設地球內部結構組成為均勻，則地球內部的重力加速度為 g2 = GMr/(R^3) , 其中 R 為地球半徑, r是距離球心的長度(變數), G為萬有引力常數，上述重力 g2 可用三維積分證明。另外，地球表面重力加速度 g = GM/(R^2) = 9.8m/(s^2) 因此　g2 = 9.8r/R 　　m/(s^2) 故 g2 正比於 r ，所以跟彈簧運動一樣，是簡諧運動，所以從地表到中心的時間，等於中心到另一端地表的時間；還有想到簡諧運動，就要聯想到 x(t) 會與三角函數有關，這點先記起來。假設從地表到中心半徑上某點的位移函數為 x(t)，則 x'(t) = v(t) (速度) , x''(t) = v'(t) = a(t) (加速度) 已知 g2 = 9.8r/R 故 a(t) = 9.8( R - x(t) )/R 即 x''(t) = 9.8 - 9.8/R*x(t) x(t)該是什麼函式，才會讓上式成立？答案會與三角函數有關，用 sin 或 cos 去驗算猜看看會發現 x(t) = A cos(√(9.8/R)t) + R 但要讓 x(0) = 0,且 t 從 0 慢慢增加時 x(t) 為正值所以 A = -R 故 x(t) = -R cos(√(9.8/R)t) + R 當 t 從 0 慢慢增加時，使得 x(t) = R 就是火車移到中心點的位移，因此 cos(√(9.8/R)t) = 0 √(9.8/R)t = π/2 , R 用 6371000 公尺代入得 t = 1266.5 (秒) 2t/60 = 42.2 (分鐘) 故到達時間約 42.2 分鐘　 # 另外， v(t) = x'(t) = R*√(9.8/R) sin(√(9.8/R)t) 故火車移到中心的速度(也是最大速度) v(1266.5) = R*√(9.8/R) = √(9.8R) = 7901.6 m/s 此速度沒達光速，不用考慮相對論問題... -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.228.137.203