Re: [問題] 你會付多少錢

看板Inference (推理遊戲)作者asdinap (asdinap)時間16年前 (2008/01/05 22:33)推噓0(0推 0噓 0→)

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※ 引述《EIORU ()》之銘言： : 有一個拿獎金的比賽 : 先丟一個銅板 : 在擲出反面前若連續丟到x次的正面 : 就可以獲得"2的x次方"元的獎金 : 例如 : 丟的狀況獎金 : 反 1 : 正反 2 : 正正反 4 : 正正正反 8 : ... ... : 那麼你願意付出多少錢當報名費來玩這個遊戲呢? : (也請從主持人的方面想在主持人能賺到最少的情況下) 這個問題從機率上來看是非常簡單的期望值算法每一種獎金發生的機會乘上每一種獎金金額加總之後會是無限大意思不是玩了很多次以後會有一次可以得到無限大的獎金或是那麼多次獎金總和是無限大而是[每玩一次]的獎金平均起來都是無限大的獎金這題令人吊詭的地方就是從數學上可知獎金期望值的確是無限大但是當大家想像真的拿出錢去玩時總覺得什麼平均獎金是無限大連要有一次獎金是無限大都很難要很多的資本去玩也才能獲得[一次]很多的獎金我們從小數目來測試 1.若玩一次要付1元則只需玩一次就不會虧本(獎金不少於1 但要到無限大很難 ) 2.若玩一次要付2元平均 2次才會出現1次獎金2元(該次不虧本) 但玩2次總付出4元很容易可以得到3元的獎金(一次正一次反) 總和還是虧 (講很容易而不是講期望因為期望值是2倍的無限多元) 大家可以簡單測試玩4次時很容易可以得到8元的獎金(1+1+2+4) 不虧本若玩8次很容易可以得到20元的獎金(1+1+1+1+2+2+4+8) 小賺4元 3.若玩一次要付1000元要玩幾次以上才會[容易]回本? 最簡單想法玩個1000次才會有1次該次獎金回本(1024元) 但玩1000次共付了1000000元 (2的20方) 很容易得到下列的總獎金 512次1元 + 128次2元 +....+2次128元 +1次512元 +1次(512或1024)元 = 10*512 (算倒楣最後兩次都512) 付出1000*1000 玩2048次 : 易得 11*1024元付 1000*2048 玩4096次 : 易得 12*2048元付 1000*4096 玩2的1000方次: 易得 1000*(2的999方)元付 1000*(2的1000方) 玩2的2000方次: 易得 2000*(2的1999方)元付 1000*(2的2000方) 約(2的2010方)元約(2的2010方)元打平可看到每次付費(2的10方)元時約要玩 2的[(2的11方)]次即很容易打平不虧本再玩更多次則賺更多重點是我們可看到上述算法[易得]的金額表示成 A*B的型式OB 隨著玩的次數的上升 AB都上升而付費金額不過是 1000*A的型式只有一方上升當玩到 2的(2的(2的(2的(2的(2的(2的10次方)))))))次時就會開始感覺到不是只有一次獎金會很大會平均起來獎金都很大的感覺了就像極限求法中 A*B / C A B C都趨近超級霹靂大 A*B是易得的獎金 C是次數 = (1個超級霹靂大乘上 1個超級霹靂大) 除以 1個超級霹靂大還是 = 1個超級霹靂大 (平均每次玩容易得到的獎金) 以上是我用容易代替期望用很大代替無限大思考之後覺得這個本來很吊詭不合常理感覺不太對的數學事實好像變得還滿親近易人也沒那麼不合常理的感覺的方法不知上述有哪些疏失還請各位老大指教指教 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 59.104.121.37