Re: [問題] 牛刀小試五問 02

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者LPH66 (杇瑣)時間13年前 (2012/07/12 02:01)推噓2(2推 0噓 4→)

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※ 引述《cj6u40 (阿克 \⊙▽⊙/)》之銘言： : 　第二問　 : 　　　數學老師選定一個球面，並在其上找出整數坐標點。以下是他列出的部分例子： : 　Ａ(3,6,14)、Ｂ(11,2,6)、Ｃ(4,13,4)。後來，他驚訝地發現，這個球面上的正整數 : 　坐標共超過一百個！該球面中心坐標為何？其上共有幾個正整數坐標點？看來又是一題被煮爛的題目了 XD (希望不要又是因為少放了一樣食材(讀音:少一個條件)才煮爛的 (爆)) 來把我煮出來的結果貼一下吧以下有雷經由一些代數運算其實大家都能找出來圓心必然在直線 x=8t-6 y=6t-2 z=5t 上相對應的半徑是 √(125t^2 - 380t + 341) 原來的題目所想要的答案應該是對應 t = 2 的解圓心在 (10,10,10) 半徑為 9 (看這數字多漂亮啊(?)) 那由於 9^2 = 6^2 + 6^2 + 3^2 = 7^2 + 4^2 + 4^2 = 8^2 + 4^2 + 1^2 所以從 (10,10,10) 開始 (+-6,+-6,+-3) (及其他共三種排列) (+-7,+-4,+-4) (及其他共三種排列) (+-8,+-4,+-1) (及其他共六種排列) 一共就能找到 (3+3+6)*8 = 96 個正整數點再加上三軸方向的頂點 (1,10,10) (19,10,10) 等六點一共 102 點符合條件之前我將 t 代進一堆整數發現那個半徑值除了 t = 2 之外都沒有整數所以原本以為應該要加上「半徑為整數」的條件不然會有其他一堆解像是 t = 10 的情形圓心在 (74,58,50) 半徑為 √9041 但是 9041 = 63^2 + 56^2 + 44^2 = 66^2 + 62^2 + 29^2 = 67^2 + 66^2 + 14^2 + ... 一共可以寫成 21 種不同的三平方和其中只有 93^2 + 14^2 + 14^2 有重覆數字顯然的這個球面上會有超過 100 個正整數點 (連加減都不用考慮只要考慮每個三平方和的六種排列就超過了) 所以我才推那一句好像少了這個條件不過後來我反向思考我要找的只要這半徑值是整數就好 t 可以是有理數所以倒過來去解 t 的二次方程找有理數幸運(?)的是讓這半徑值是整數的有理數 t 也不多搜到半徑 1000 也才找到四個 t 值 t = 2 (半徑 9), t = 22/5 = 4.4 (半徑 33), t = 326/25 = 13.04 (半徑 129) 以及最後這一個驗證了有超過 100 個正整數點的 t = 1346/25 = 53.84 圓心在 (424.72, 321.04, 269.2) 半徑 585 這個球面在第一卦限裡的整數點個數有 108 個! (當然包含題目當中的這三個) 108 個點的清單如下: {{3, 6, 14}, {4, 13, 4}, {4, 148, 637}, {4, 583, 580}, {7, 724, 196}, {11, 2, 6}, {13, 736, 292}, {16, 652, 13}, {17, 654, 14}, {18, 171, 662}, {38, 681, 18}, {41, 762, 246}, {66, 762, 131}, {122, 819, 218}, {129, 98, 722}, {129, 258, 770}, {137, 414, 770}, {145, 190, 766}, {150, 710, 609}, {160, 220, 781}, {171, 762, 558}, {174, 678, 659}, {174, 843, 186}, {196, 832, 439}, {210, 30, 729}, {242, 449, 810}, {242, 794, 561}, {242, 834, 483}, {292, 589, 772}, {294, 878, 147}, {349, 868, 76}, {350, 35, 774}, {361, 442, 838}, {378, 651, 750}, {390, 905, 266}, {398, 66, 795}, {398, 171, 834}, {398, 881, 102}, {438, 881, 438}, {458, 6, 761}, {458, 801, 602}, {493, 76, 796}, {506, 267, 846}, {508, 391, 844}, {508, 871, 88}, {514, 658, 739}, {521, 2, 750}, {521, 882, 134}, {522, 174, 827}, {522, 329, 846}, {523, 226, 838}, {544, 868, 439}, {555, 890, 230}, {563, 146, 810}, {570, 275, 834}, {577, 874, 154}, {579, 518, 798}, {585, 870, 146}, {587, 654, 722}, {614, 203, 810}, {614, 638, 723}, {614, 758, 609}, {616, 112, 781}, {616, 772, 589}, {654, 843, 138}, {657, 414, 798}, {662, 594, 729}, {679, 328, 796}, {702, 99, 734}, {705, 810, 426}, {713, 786, 62}, {726, 617, 674}, {770, 65, 666}, {770, 710, 537}, {781, 772, 160}, {782, 414, 723}, {796, 772, 301}, {808, 16, 589}, {808, 76, 637}, {818, 681, 510}, {823, 616, 580}, {823, 736, 376}, {832, 724, 151}, {843, 6, 530}, {866, 2, 483}, {871, 472, 616}, {874, 73, 550}, {874, 658, 433}, {875, 650, 446}, {878, 66, 537}, {878, 681, 354}, {899, 38, 462}, {902, 99, 14}, {942, 99, 110}, {942, 594, 281}, {947, 554, 146}, {962, 489, 110}, {966, 177, 438}, {966, 497, 134}, {969, 518, 354}, {976, 157, 376}, {976, 247, 88}, {977, 134, 222}, {986, 482, 305}, {990, 350, 417}, {990, 395, 138}, {990, 450, 347}, {1002, 414, 251}} 話說回來, 其實很容易發現 t 只有在某個範圍裡這整顆球才會全部在第一卦限 t = 2 的解也是其中之一也就是說只要我們加上「這整個球面全部在第一卦限」這個條件那 t = 2 的答案就是唯一解了不過這麼一來超過 100 個正整數點這個條件就沒用了呢.... (因為會滿足整個球都在第一卦限的 t 範圍其實很小約為 1.68059 ≦ t ≦ 2.34721 這當中值得注意的大概只有整數的 t = 2 吧) 如果要保留超過 100 個正整數點這個條件的話除了半徑整數外可能還要限制圓心在整數.... (當然我依然不確定這樣限制之後 t = 2 還是唯一解 XD") 特別鳴謝扮演微波爐(?)幫助我煮題目的 Mathematica 的頁末防雷頁 -- いああオレたちには見えてるモノがあるbデきっと誰にも奪われないモノがあるはずさけ開口一番一虚一実跳梁跋扈形影相弔yュL羊頭狗肉東奔西走国士無双南柯之夢歪もぶ　意味がないと思えるコトがあるラPきっとでも意図はそこに必ずあるんのく依依恋恋空前絶後疾風怒濤有無相生ラH急転直下物情騷然愚者一得相思相愛だがろ無意味じゃないラ6あの意図が恋たで有為転変死生有命蒼天已死黄天當立 !!6五里霧中解散宣言千錯万綜則天去私のり -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.28.91