[問題] 坐飛機

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者 (得)時間14年前 (2011/09/19 19:08), 編輯推噓12(1206)
留言18則, 6人參與, 最新討論串1/2 (看更多)
一共有n個人上飛機,飛機上n個位置,每個人都有自己對應的位置。 但今天第一個人很迷糊,所以會隨機做任何一個位置。 後面的人如果自己的位置被別人坐了,則會隨機去坐剩下的位置, 如果自己的位置沒有被坐,則會做自己的位置。 請問,第n個人坐到自己位置的機率為? -- 好像有看過但是/不到,與大家分享。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 111.251.175.59

09/19 19:22, , 1F
1/2
09/19 19:22, 1F

09/19 19:35, , 2F
give a simple proof
09/19 19:35, 2F

09/19 19:36, , 3F
一樓在n=1的情況就直接錯了= =
09/19 19:36, 3F

09/19 21:37, , 4F
第一個人一定是1/n
09/19 21:37, 4F

09/19 21:53, , 5F
第一個人坐到k (1<k<n) 就等於把k 變成新的第一個人去坐n-1
09/19 21:53, 5F

09/19 21:56, , 6F
然後就數學歸納法
09/19 21:56, 6F

09/19 21:57, , 7F
n=1 時是 1 這終端狀況沒考慮到 orz 總之 n>1 時是 1/2
09/19 21:57, 7F

09/19 22:23, , 8F
但是第一個人有1/n的機會 會坐到第n個人的位置吶
09/19 22:23, 8F

09/19 22:46, , 9F
不太對..第二個人好像是(n-1)/n
09/19 22:46, 9F

09/19 22:53, , 10F
遞迴式是 P(n) = [1+(n-1)P(n-1)]/n
09/19 22:53, 10F

09/19 22:53, , 11F
解開會發現是 (n-1)/n 沒錯
09/19 22:53, 11F

09/19 23:09, , 12F
等一下,第 n 個人意思應該是最後一個人吧?題目說 n 個座位
09/19 23:09, 12F

09/19 23:14, , 13F
aa124816: 但也有 1/n 機會坐到第一個位置,這兩個就扯平啦
09/19 23:14, 13F

09/19 23:29, , 14F
ㄟ,好像真的錯了!XD
09/19 23:29, 14F

09/19 23:34, , 15F
ㄟ,應該沒錯啊…我來算算第 k 位置的看看
09/19 23:34, 15F

09/20 00:02, , 16F
第k位置的人坐對的機率是 (n-k+1)/(n-k+2), k>1
09/20 00:02, 16F

09/20 12:27, , 17F
n=2 1/2 n=3 1/3+1/3*1/2 也是 1/2 n=4 50.125% ...
09/20 12:27, 17F

09/20 12:47, , 18F
請忽略上一行 .... n=2以上 都是50%
09/20 12:47, 18F
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