Re: [問題] 調配奶茶

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者stimim (qqaa)時間16年前 (2010/01/13 21:26)推噓3(3推 0噓 0→)

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※ 引述《stimim (qqaa)》之銘言： : 今天看別人在喝飲料時想到的，算是數學應用題： : 小明買了一瓶300ml的紅茶和一瓶300ml的全脂牛奶 : 為了要喝奶茶，他必須要把300ml的紅茶和300ml的牛奶混合成600ml的奶茶 : 但是很無奈的，小明手上並沒有多餘的杯子，因此他這麼做： : 牛奶瓶大約還有50ml的容量，因此他先將50ml的紅茶倒到牛奶瓶中， : 再從牛奶瓶將50ml的混合夜倒回紅茶瓶中。 : 小明深信，只要不斷的重複這個步驟，他就可以將牛奶和紅茶完全混合。 : 問題來了： : (a)請問小明的想法對嗎？ : (b)如果(a)的答案是"對"，則小明至少要重複幾次才可以讓牛奶瓶中的 : 牛奶比例降到55%以下？ : 如果(a)的答案是"錯"，則小明至少要喝掉多少牛奶和紅茶，才可以 : 藉由上述步驟讓牛奶和紅茶完全混合(喝掉x ml的牛奶就會多出x ml : 的空間可以混合) 參考解法： (a) ┌ x ┐ let v = │ │ (一個向量) x是紅茶瓶中的牛奶量，y是牛奶瓶中的牛奶量 └ y ┘ ┌ 5/6 0 ┐ 從紅茶瓶倒 50ml 到牛奶瓶 => b = │ │v └ 1/6 1 ┘ ┌ 1 1/7 ┐ 從牛奶瓶倒 50ml 回去 => v' = │ │b └ 0 6/7 ┘ ┌ 6/7 1/7 ┐ => v' = │ │v └ 1/7 6/7 ┘ 若一開始的狀態為 v_0 ，重複 n 次操作以後的狀態為 v_n ┌ 6/7 1/7 ┐ A = │ │ └ 1/7 6/7 ┘ 則有： v_n = (A^n) v_0 而 A 是可對角化的，也就是 A = PDQ 其中 Q 是 P 的反矩陣，D是一個對角矩陣，對角線上的值為A的eigenvalue ┌ 1/√2 1/√2 ┐┌ 1 0 ┐┌ 1/√2 1/√2 ┐ 也就是 A = │ ││ ││ │ └ 1/√2 -1/√2 ┘└ 0 5/7 ┘└ 1/√2 -1/√2 ┘ => A^n = P (D^n) Q ┌ 1 0 ┐ 當 n 趨近無窮大 => A^n → P │ │ Q = 每一相都是 1/2 的矩陣 └ 0 0 ┘ ┌ (x+y)/2 ┐ => (A^n)v → │ │ └ (x+y)/2 ┘ => 不論一開始的狀態為何，牛奶都會被平分到兩個容器中故小明的推測正確。 (b) T v_0 = [ 0 300 ] T v_n = 150 [ 1-(5/7)^n 1+(5/7)^n ] => 150(1+(5/7)^n) < 300*55% => (5/7)^n < 0.1 n (ln5-ln7) < -ln10 n > 6.843313779 => 至少要倒 7 次 ------------------------------------- 應該有辦法證明：只要每次都可以倒一部份的溶液到另外一邊，不論多麼少，在混合次數趨近於無窮大時，兩個溶液終究會完全混合。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 61.228.148.183