Re: [請益] 機率問題---三個門後的羊＆車

看板puzzle (益智遊戲 - 數獨,拼圖,推理,西洋棋)作者hiei81 (寶貝。永遠)時間19年前 (2005/10/12 11:56)推噓1(1推 0噓 0→)

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我再重貼一次好了，這個問題看太多遍了:D 題目是這樣：有三把鑰匙,但只有一把能開,甲挑了一把鑰匙(但沒試),乙也挑了一把去試(結果不能開)。那麼試問，甲要不要換未選過的那把鑰匙(也就是要問哪一把成功的機率較大)? (門後有一堆寶藏，開到就是他的) 這問題沒那麼複雜如果乙是一個預言師，可以預言寶藏在哪裡，而且開到寶藏就是他的，現在他竟然沒開到，所以寶藏在甲選的那一個箱子裡。甲不應該換如果乙的預言偶爾會失敗，例如如果剩下兩個箱子有寶藏時，乙開到的機會有80% (i)甲選的箱子裡有寶藏=>33% (ii)甲選的箱子裡無寶藏且乙預言錯誤=>66%*20%=13.2% 所以甲換的話得到寶藏的機率是13.2%/(33%+13.2%)=2/7=28.57% 如果乙完全是用猜的，所以剩下兩個箱子有寶藏時，乙開到的機會有50% (i)甲選的箱子裡有寶藏=>33% (ii)甲選的箱子裡無寶藏且乙猜錯=>66%*50%=33% 所以甲換的話得到寶藏的機率是33%/(33%+33%)=50% 如果乙是個主持人，已經知道寶藏在哪裡，且開到寶藏要被罰錢如果乙記性很差，有20%的機會耍白痴去開到寶藏 (i)甲選的箱子裡有寶藏=>33% (ii)甲選的箱子裡無寶藏且乙沒有耍白痴=>66%*80%=52.8% 所以甲換的話得到寶藏的機率是52.8%/(33%+52.8%)=8/13=61.55% 如果乙記性很好，一定不會開到寶藏 (i)甲選的箱子裡有寶藏=>33% (ii)甲選的箱子裡無寶藏=>66%*100%=66% 所以甲換的話得到寶藏的機率是66%/(33%+66%)=66.67% 乙(x%開中有寶藏的) => 甲換鑰匙得寶藏的機率 x=100 0% x=80 28.57% x=50 50% x=20 61.55% x=0 66.67% 注意並不是換鑰匙得寶藏的機率一定至少50%，說不定乙早就偷看到寶藏被藏在哪裡也想去打開它，他無法這麼做的原因是甲把寶藏選走了！所以本題的答案和乙的角色和本事有關... 又若，主持人乙已知甲選中寶藏，故意多問這個問題，希望甲換掉，下次遊戲甲沒選中寶藏時這個問題就不會出現，（主持人直接說謝謝惠顧就結束了）所以當乙做了「開寶藏」這個動作，就透露「其實你已經選中了」的訊息那甲換鑰匙，對不起，也是0% （注意很多電視節目並不是每一次主持人都會問你換不換的）就賽局論的角度來說，如果乙已知答案，且知道甲聽到問題後會換，那麼乙就有種策略讓甲永遠得不到寶藏這種策略就是：如果甲沒選中，直接讓他去開如果甲選中了，問他要不要換 (策略X) 但如果甲預知乙會使用這種策略，那麼甲就決定永遠不換，在乙使用本策略的情況下，甲選中還是選中，沒中就是沒中，33% 但乙預知甲預知乙會使用本策略，他可以在某些機會甲沒選中時問他要不要換，這時甲必定以為他選中而不換，那麼他將驚訝於結果！(賽局中的「耍詐」physics) 甲會猜測：或許乙根本沒有使用策略X，好像應該要換的... 乙成功的讓甲上鉤了....（在大部份選中時換掉了）所以如果甲預知乙預知甲預知乙會有那種心理時，甲應該還是要堅持比較好... 這個賽局特殊之處在於甲從一開始就是33%得寶藏，乙使用策略X後(或許偶爾耍詐一下)，只會賺不會虧，大不了甲還是33%， (更厲害的賭徒乙會用大約20%的機會耍詐，讓你「看起來好像乙是隨機問要不要換的」這樣再計算一下：不換的話：33% 換的話：66%*20%=13.2% 可是你會覺得：不換的話：33% 換的話：66%*50%=33%，沒差... 結果你每換一次得寶藏的機率降到只有28.57%，雖然下降不到5%，但賭徒總是靠著 1%的或然率在賺錢的，不是嗎？) 而如果這個節目的傾向是不讓人拿走寶藏的話，誰都會採取這種策略的聰明的你，還換不換呢？^_^ -- 濃濃的感情甜蜜，淡淡的感情長流，愛情得在這濃濃的、淡淡的感覺中交織出無上的光芒 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 24.215.156.57