Re: [問題] 世上的兩種可能

看板Inference (推理遊戲)作者tzhou時間13年前 (2011/07/27 02:15)推噓1(1推 0噓 0→)

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題目如果限制只能用1~9各一次的話那就的確是"唯一"解不然就如allen大說的愛怎麼湊都可以在講解之前我想先說一句話：國中還是高中數學絕對有教些簡單的數論(倍數規則)！如果不是還沒學到的話那肯定是太久沒用忘光了嘛(無奈攤手) ※ 引述《allen65535 (劇情急轉直下)》之銘言： : ※ 引述《how200284 (先不要問我，我還沒想到)》之銘言： : : 有一個九位的數字 : : 第一個數字為1的倍數 : : 前兩個數字為2的倍數 : : 前三個數字為3的倍數 : : 前四個數字為4的倍數 : : 以此類推... : : 世上答案有兩種 : : (如有OP請通知，我自D) : : ============================防雷頁============================ : : Ans:147258369 & 381654729 : : 真正我要問的是: : : 為什麼只有兩種 : : 有證明嗎? : : 還是純巧合? : : (本人初PO，各位大大請不要噓太用力) : : 謝謝 : 我推出來只有一解耶...過程有點冗長也許不是最佳解 : 首先我想這題目應該加上一個條件是1到9的每個數字都只能用一次 : 要不然像222456564這種答案也是符合條件的 : 再來，既然1到9每個數字只能用一次 : 那在第2、第4、第6、第8位除以偶數的時候，個位數一定要是偶數 : 因為個位數如果是奇數，除以偶數一定不能整除 : 也就是說2、4、6、8一定要放在2、4、6、8位 : 那麼1、3、5、7、9就只能放在1、3、5、7、9位了 : 然後注意5這個數字有特殊性 : 從4位數要拓展到5位數的時候，會是這樣(oooo x 10 + n) : oooo是前4位數，n是第5位數 : 其中(oooo x 10)一定是5的倍數，也就是說n本身也要是5的倍數 : 1到9的數字中5的倍數就只有5了，所以5一定要放在第5位 5的倍數規則：尾數必是5或0 既然是1~9那當然只能是5了可以先將5放中間：xxxx5xxxx : 利用類似的算式，我還發現其他兩個規則 : 一個是第4位和第6位加起來一定要等於10 : 另一個是第7位和第8位這兩位本身要是8的倍數 : 我總覺得9應該只能放在第9位不過我推不出來，所以算了 XD 9的倍數規則：所有位的數字加起來是9的倍數 1加到9=45已經是9的倍數，所以最後一位是什麼數字都沒有關係 : 先解釋第4位和第6位加起來為什麼一定要等於10 : 先假設第4位是2n，第6位是2m : 因為之前知道第4位和第6位一定是偶數所以可以這樣假設 : 所以前6位是這樣 10 x (10 x (10 x ooo + 2n) + 5) + 2m : 化簡一下 1000 x ooo + 200n + 50 + 2m : 現在檢查這一串東西要是6的倍數，把6的倍數先減掉 : 因為ooo是3的倍數，所以1000 x ooo可以寫成500 x 2ooo : 2ooo一定是6的倍數，所以這一項可以不用管 : 200n中的198n也一定是6的倍數，所以200n剩下2n : 同理50剩下2，2m還是2m : 現在這一串就剩下 2n + 2 + 2m，化簡 2(n+m+1) : 2(n+m+1)要是6的倍數，所以n+m+1要是3的倍數 : 這裡只有兩種可能，n和m等於2和3或1和4 : 所以第4位和第6位的2n和2m只能等於4和6或2和8 這邊的想法不錯是正確的不過其實可以這樣想：3的倍數規則：所有位數字和是3的倍數前三位已經是3的倍數了所以乘上1000就是6的倍數不管他後三位中間是5，而且剩下兩位必須是"不同"的偶數(所以和不會是4和16) 所以這兩位一定得是4&6或2&8的組合 : 再來解釋第7位和第8位這兩位本身要是8的倍數 : 到第8位為止可以這樣寫 10 x (10 x oooooo + n) +m : 這裡是假設第7位是n，第8位是m : 化簡 100 oooooo + 10n + m : 因為oooooo是6的倍數，所以100 oooooo一定是8的倍數 : 也就得到結論10n + m本身要是8的倍數 : 又已知第7位是奇數，第8位是偶數，所以組合只有以下這幾種可能 : 16、32、56、72、96 : 56不行因為5一定要放在第5位，所以剩下其他四種 : 16、32、72、96 複習一下8的倍數規則：末三位是8的倍數(因為1000能被8整除) 因為前六位是6倍數關係所以這8的倍數的百位是偶數 200也可以被8整除，所以重點在第七第八位組成的數字是8的倍數十位為奇數個位為偶數，暴力搜一下五種組合應該不會嫌麻煩但注意5的位置已經固定了所以其實可用的組合是16 32 72 96而已 : 值得注意的是，不是要有2就是要有6 : 現在回過頭來檢查前3位，其實也只是把所有可能列出來 : 這裡的第1位和第3位是還可以調換的 : 123、723、129、147、165、765、183、783 : 有5的不行所以剩下 : 123、723、129、147、183、783 到這邊其實好像不用那麼麻煩因為第四位跟第六位的組合只能是4&6或2&8，而第八位不是2就是6 所以第二位不是8就是4了(有玩數讀的話應該看得懂為什麼吧) 所以前三位的組合其實很有限：奇偶奇，不能有5，偶數不是8就是4 組合不外乎147 183 189 387 789(第一位跟第三位一樣可以互換) 因為第四位跟第六位的組合是4&6或2&8的關係這時回頭配合看第七八位和第二位的組合： 147配16....-><- 183和387不能配32 387和789也不能配72 所以目前可得10組解 183654729 381654729 147258963 741258963 189654327 981654327 189654723 981654723 789654321 987654321 (這邊要說明一下為什麼46或28不能互換，複習4的倍數規則：) (末兩位為4的倍數，因為100可以被4整除) (所以不管第三位是多少，第四位只能是2或6) : 然後對照剛才推出來第7第8位的四種可能性 : 如果前3位是123，78位只能是96 : 但是46位又只能是46或28 : 所以前3位是123這組就不成立了 : 終於走到最後一步，就是一個一個淘汰了 : 最後剩下兩組可能 : 123位是147，456位是258，78位是96，以及 : 123位是183，456位是456，78位是72 : 這裡的13位和46位還是可以交換的 : 逐一檢查就得到最後的答案只有381654729符合所有條件 : 結束 XD 最後來複習一下7的倍數規則吧，比較複雜：從個位數起每三個位數用一條線連成一個三位數，再分兩組加總算其差如果差是7的倍數則整個就是7的倍數(因為1001是7的倍數，同理用在13倍數上有用) 有點難懂? 來練習一下吧假設到七位數為止是1836547，則分為1 836 547，其中1和547一組 836-(1+547)=288 不是7的倍數，因此這組不合 381654729的場合：分3 816 547，816-(3+547)=266是7的倍數！剩下的我就不算了，都不是7的倍數所以只有381654729是唯一解 ^^ -- 題外話：1001=7X11X13，可是11有比較簡單的判斷法那就是直接以奇偶數位分組算其差 (這樣想，每相鄰兩組都會一起加1，當後面那組進位時，後面少9前面加1+進位1) (所以兩組間的差距永遠是11的倍數。同理解釋1001的倍數想法) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 220.137.73.251 ※ 編輯: tzhou 來自: 220.137.73.251 (07/27 02:57)