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[心得] 預期用球數量計算

看板PokemonGO (寶可夢GO)作者 (比鄰星)時間8年前 (2017/10/11 22:11), 8年前編輯推噓21(22推 1噓 30→)
留言53則, 21人參與, 8年前最新討論串1/1
這篇談的是利用統計理論來分析抓寶用球數的期望值。 Gamepress在計算捕獲率方面有詳細的分析 (https://goo.gl/2T15oC)，但是在預期用球 數方面只有提供計算結果，並沒有提供式子。 後來我在SilphRoad 上找到一篇文章 (https://goo.gl/HQsKNu) ，提供了這個式子: 1/(p+f-pf) 測試結果與Gamepress結果相同。 即使如此，作者並沒有提供推導過程。我試著自行推演，得到類似但有點差距的結果，所 以昨天發文到Math.StackExchange去詢問，得到很好的回覆 (https://goo.gl/Jw6y1z)。以下就網友Awkward 的答覆略作補充說明。詳細內容還需要參照Math.StackExchange的文章。 假設B是用球數，變數C=1或0，1代表抓到怪，0代表怪逃走。 以條件機率列式: E(B) = E(B|C=0) Pr(C=0) + E(B|C=1) Pr(C=1) E(B|C=0) = Σ[x Pr(B=x, C=0)/Pr(C=0)]，x=1...infinity E(B|C=1) = Σ[x Pr(B=x, C=1)/Pr(C=1)]，x=1...infinity 但Pr(C=0) 和 P(C=1) 是一個常數，所以分子分母相消之後成為 E(B) = Σ[x Pr(B=x, C=0)] + Σ[x Pr(B=x, C=1)] 結果與Gamepress所用公式相同。 以遞迴方式列式: E = p x 1 + f x 1 + (1-p)(1-f)(E+1) 式子的意思是有三種情況:有機率p的可能是用球數為一(一球入魂)，有機率f的可能也是 用球數為一(一球跑)，還有(1-p)(1-f)的機率用球數為(E+1) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.162.58.143 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/PokemonGO/M.1507731104.A.D0C.html
推
10/11 22:15, 8年前 , 1F
快推，別人才不會以為我看不懂
10/11 22:15, 1F
推
10/11 22:19, 8年前 , 2F
看不懂沒關係，認真文就推XD
10/11 22:19, 2F
感謝! 其實我也有PO到統計版，但那個版大概人氣太低，目前還沒甚麼反應 ※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:22:40
推
10/11 22:23, 8年前 , 3F
先推再說
10/11 22:23, 3F
推
10/11 22:28, 8年前 , 4F
原來是這樣
10/11 22:28, 4F
推
10/11 22:30, 8年前 , 5F
我覺得以測不準原理加上人品手感網路及設備等四維條件
10/11 22:30, 5F
→
10/11 22:30, 8年前 , 6F
搭配大統一理論來推測會比較完備
10/11 22:30, 6F
推
10/11 22:30, 8年前 , 7F
建議可以舉實際的例子，例如雷公，不然很少人看得懂
10/11 22:30, 7F
推
10/11 22:30, 8年前 , 8F
幫樓上統整一下 「感覺」比較完備
10/11 22:30, 8F
其實這篇的唯一目標就是解釋 1/(p+f-pf)這式子怎麼來的 ※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:33:02 如果是需要知道平均用球數，用gamepress的calculaor算就可以。話說神獸用的計算器不 同，因為球數有限 ※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:38:38
推
10/11 22:36, 8年前 , 9F
雖然知道這個意義不大XDDD 但還是推
10/11 22:36, 9F
→
10/11 22:37, 8年前 , 10F
這篇是指會逃跑的野生怪 所以跟雷公無關
10/11 22:37, 10F
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10/11 22:38, 8年前 , 11F
玩家只要知道球盡量丟曲球丟準就對了 這篇給對數學有興
10/11 22:38, 11F
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10/11 22:38, 8年前 , 12F
趣的人看的XD
10/11 22:38, 12F
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10/11 22:39, 8年前 , 13F
以雷公為例，假設每球都用金莓+曲球+半徑r=0.5的great，
10/11 22:39, 13F
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10/11 22:39, 8年前 , 14F
單球捕獲率約為13%（即p=0.13），逃跑率f在頭目戰為0，則
10/11 22:39, 14F
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10/11 22:39, 8年前 , 15F
用球數期望值為1/（p+f-pf）=1/p=1/0.13=7.69球
10/11 22:39, 15F
這個式子是假設球數沒有限制，但在頭目戰最多只有14球，所以會有誤差，精確結果要一 球球累加
→
10/11 22:40, 8年前 , 16F
實際情形當然因每手感不同而影響機率
10/11 22:40, 16F
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:44:09
推
10/11 22:45, 8年前 , 17F
對啦 頭目來說逃跑代入0就好 所以玩家可以期望拿8顆都
10/11 22:45, 17F
→
10/11 22:45, 8年前 , 18F
丟好就會抓到 只是我常常事與願違就是了XD
10/11 22:45, 18F
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:48:59
推
10/11 22:52, 8年前 , 19F
這篇的內容最不適用的就是頭目戰 球數條件完全違背
10/11 22:52, 19F
→
10/11 22:53, 8年前 , 20F
逃跑代入0也是錯的
10/11 22:53, 20F
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:56:04
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10/11 22:55, 8年前 , 21F
頭目:球數有限制+不會逃跑 野怪:球數無限制但會逃跑
10/11 22:55, 21F
※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 22:57:07 這也是為什麼Gamepress的計算器分為兩種，同時頭目戰用的不提供預期用球數，但其實 還是可以算，只是要一球一球累加 ※ 編輯: Proxima668 (1.162.58.143), 10/11/2017 23:01:15
推
10/11 23:05, 8年前 , 22F
機率真好玩 雖然很久沒碰惹 明天來仔細看看當打發時間
10/11 23:05, 22F
推
10/11 23:10, 8年前 , 23F
哈哈 看不懂！我只知道今天打火精靈即使有14球還是跑掉XDDD
10/11 23:10, 23F
→
10/11 23:22, 8年前 , 24F
然後遞迴式是因為 E 為球無限穩定態不會因為繼續丟改變
10/11 23:22, 24F
→
10/11 23:23, 8年前 , 25F
所以可以直接再丟1球反解
10/11 23:23, 25F
推
10/11 23:28, 8年前 , 26F
但如果只是要得到期望值的話應該可以代0沒關係？假設球
10/11 23:28, 26F
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10/11 23:28, 8年前 , 27F
是無限的這件事就算跟事實不符應該也沒關係？
10/11 23:28, 27F
"假設無限的這件事就算跟事實不符也沒關係?"這個問題很有趣。這麼說吧，世界上沒有任何圓形物體符合完美的圓，但提煉出圓的這個概念實際上有極大的幫助。在球數的這個例子，假設用球數無限可以得到精簡的式子
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10/11 23:31, 8年前 , 28F
他計算過程Σ已經從x=1加到∞了 跟你從1~14或更少完全
10/11 23:31, 28F
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10/11 23:32, 8年前 , 29F
不一樣結果 公式長得漂亮是因為無窮等比級數
10/11 23:32, 29F
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10/11 23:32, 8年前 , 30F
你自己加一遍到頭目戰有興趣的球數 算出來都不一樣
10/11 23:32, 30F
推
10/11 23:44, 8年前 , 31F
還好我不是唸數學系..還是不太能理解為什麼不能假設球是
10/11 23:44, 31F
→
10/11 23:44, 8年前 , 32F
無限的 只是實際測試必須停在14顆（或更少）這樣 但還是
10/11 23:44, 32F
→
10/11 23:44, 8年前 , 33F
很感謝你的解釋～
10/11 23:44, 33F
推
10/12 00:20, 8年前 , 34F
推起頭的討論優文
10/12 00:20, 34F
→
10/12 00:24, 8年前 , 35F
覺得意義不大,跟Pokemon關係也不大,就機率公式推導而已
10/12 00:24, 35F
推
10/12 00:26, 8年前 , 36F
但認真給推~
10/12 00:26, 36F
噓
10/12 00:48, 8年前 , 37F
吃飽太閒，統計別來亂。
10/12 00:48, 37F
推
10/12 02:09, 8年前 , 38F
需要更多這類文章
10/12 02:09, 38F
推
10/12 04:58, 8年前 , 39F
推！ （很久沒打開數學課本了....）
10/12 04:58, 39F
推
10/12 07:08, 8年前 , 40F
你數學系？
10/12 07:08, 40F
→
10/12 08:44, 8年前 , 41F
真的很多人以為數學系在算這種東西 實際上差太多了
10/12 08:44, 41F
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10/12 12:25, 8年前 , 42F
這只是高中數學 數學系研究的是數學理論
10/12 12:25, 42F
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10/12 21:51, 8年前 , 43F
問一下 以 "結果與Gamepress所用公式相同" 為分界..
10/12 21:51, 43F
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, , 44F
上下根本看不出關聯性啊....是少列很多假設還是?
這裡談了兩種列式的方法，第二種是遞迴法。不過第一種的條件機率並非必要，更簡單的 是 1xP(一球抓到）+ 1xP(一球跑）+ 2xP（兩球抓到）+ 2xP(兩球跑）+ ..... /1221:52
推
10/12 22:28, 8年前 , 45F
說數學系只是覺得忘成這樣 必修的機率與統計會GG吧..
10/12 22:28, 45F
※ 編輯: Proxima668 (101.15.81.240), 10/13/2017 09:52:20 ※ 編輯: Proxima668 (101.15.81.240), 10/13/2017 09:59:59 ※ 編輯: Proxima668 (59.120.24.158), 10/13/2017 10:30:16
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10/13 20:29, 8年前 , 46F
我自己算抓到寶期望值是 P(一球入魂) + p/((p+f-pf)^2)
10/13 20:29, 46F
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10/13 20:31, 8年前 , 47F
p是捕獲率 f逃逸率 p(一球入魂) 應該要另外看待......
10/13 20:31, 47F
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10/13 21:25, 8年前 , 48F
後來又覺得有誤解某些定義.. E(B)= p/((p+f-pf)^2) 即可
10/13 21:25, 48F
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10/14 01:56, 8年前 , 49F
沒算到烙跑 那應該會是 (p+f)/((p+f-pf)^2) 才對
10/14 01:56, 49F
→
10/14 01:58, 8年前 , 50F
(p+f) + 2(p+f)(1-p)(1-f) + 3(p+f)(1-p)^2(1-f)^2...
10/14 01:58, 50F
抓到的場合，上式正確，但逃跑的場合，上面的式子少了一項(1-p), 也就是P(一球跑)=(1-p)f, P(兩球跑)=(1-p)(1-f)(1-p)f, P(三球跑)=(1-p)(1-f)^2 (1-p)^2 f
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10/14 01:59, 8年前 , 51F
數學的話 到這為止只用到無窮數列的計算而已
10/14 01:59, 51F
※ 編輯: Proxima668 (1.162.53.134), 10/16/2017 21:57:25
推
10/17 01:07, 8年前 , 52F
我最後的式子已經包函跑掉的部分了..
10/17 01:07, 52F
推
10/17 01:09, 8年前 , 53F
我上面幾行的才是只有計算捕獲的部分，我也修正了
10/17 01:09, 53F
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