[轉錄]Re: [數學] 三門問題
※ [本文轉錄自 NUMB3RS 看板]
作者: fff0722 (小葛好可愛>/////<) 看板: NUMB3RS
標題: Re: [數學] 三門問題
時間: Mon Jul 28 22:11:49 2008
颱風天賺到的假期正好用來寫數學XDDDDDDDDDDD
當然這個之前就有板友們解釋了~
可是我剛好學到嘛~就拿來再說一遍吧(任性中)
--
那我就不廢話了~~
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◢ ﹏ ◣ Numb3rs 數學討論
︵﹋︵ 本日主題:
∕ ▽ ﹨ 三 門 問 題
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 ̄ ̄ ̄ ̄
太太,太懶了吧,這跟上一版本一樣阿~
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--
◢ ﹏ ◣ 少囉唆!
⊙﹋⊙ 動畫不是我的擅長啊!
∕ 皿 ﹨ 炸你全家喔!
☆/ ﹀@m
 ̄ ̄ ̄ ̄
……好啦~快說數學吧~
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〈﹀﹨
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fff0722:首先我們有三道門,  ̄ ̄ ̄ ̄
本來應該討論 I II III 分別是獎品車子的情況……
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◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
嘰咕~∕ Σ ﹨
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fff0722:但由於我很懶所以直接假設 II 號門是車子。  ̄ ̄ ̄ ̄
(反正結果相同嘛~XD)其他兩者就是山羊。
--
選擇
Ⅰ(羊)
╱ 1/3
╱
╱
‧── Ⅱ(車)
╲ 1/3
╲
╲
Ⅲ(羊)
1/3
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
∕ ▽ ﹨
︶﹀︶
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fff0722:首些我們必須選擇,這裡假定機率是公平的1/3。  ̄ ̄ ̄ ̄
我想很好理解,你說是吧~Colby~
Colby:你問這是什麼意思!?(惱羞成怒)
--
選擇 Charlie開
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊)
╱ 1/3 1
╱
╱ ┌─Ⅰ(羊)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊)
╲ 1/2
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊)
1/3 1
◢ ﹏ ◣?
太簡單了~ ︶﹋︶
∕ ▽ ﹨
V ﹀β
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fff0722:接著,Charlie會開啟另一扇門。如果你選的是I或III  ̄ ̄ ̄ ̄
門,Charlie所能開啟的門也剩一個選擇,此時機率是
100% = 1。若選的是II門,Charlie會有兩個選擇50%。
--
選擇 Charlie開 換∕不換
┌─ 換 1/2
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2
╲ 1/2 └─ 不換 1/2
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2
1/3 1 └─ 不換 1/2
◢ ﹏ ◣?
□﹋□ +
∕ ﹀ ﹨
─﹀>
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fff0722:重要的來了,你將能選擇換或不換。這邊也假設你的  ̄ ̄ ̄ ̄
選擇機率是1/2。
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
∕ ▽ ﹨
<﹀>
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fff0722:於是,整個貝氏機率樹狀圖就完成了!  ̄ ̄ ̄ ̄
--
◢ ﹏ ◣ 第一階段完成!希望大家沒有眼花繚亂。
@﹋@ 看回原題目,我們所要求算的是;
∕ ﹏ ﹨
﹌﹀﹌ 選擇換的得獎機率是否大於選擇不換的得獎機率?
換的前提下得獎>不換的前提下得獎?
 ̄ ̄ ̄ ̄ 所以讓我們先來求出選擇換的機率吧!
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
加油!∕ ▽ ﹨
└﹀>
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fff0722:讓我們一條條算起吧~  ̄ ̄ ̄ ̄
(用紅色線表示)
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
∕ 1 ﹨
└﹀>
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fff0722:(1/3)*(1)*(1/2) +  ̄ ̄ ̄ ̄
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
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∕ 2 ﹨
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fff0722:(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) +  ̄ ̄ ̄ ̄
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
親一個~∕ 3 ﹨
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fff0722:(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) +  ̄ ̄ ̄ ̄
(1/3)*(1/2)*(1/2) +
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
∕ 4 ﹨
└﹀>
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fff0722:(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) +  ̄ ̄ ̄ ̄
(1/3)*(1/2)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2)……算完了。
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
大功告成!∕ ε ﹨
〈﹀﹀
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fff0722:(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1/2)*(1/2) +  ̄ ̄ ̄ ̄
(1/3)*(1/2)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2)
= 1/2 → 選擇換 的機率是1/2(這是廢話XD)
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
再一次!加油!∕ ▽ ﹨
└﹀┘
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fff0722:現在讓我們依照剛剛的模式,求出選擇換後得獎的機  ̄ ̄ ̄ ̄
率吧(用黃色線表示)
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
∕ 一 ﹨
└﹀┘
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fff0722:(1/3)*(1)*(1/2) +  ̄ ̄ ̄ ̄
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
︿﹋︿
∕ 二 ﹨
└﹀┘
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fff0722:(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2)…結束。  ̄ ̄ ̄ ̄
--
選擇 Charlie開 換∕不換 結果
┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
Ⅰ(羊) ───Ⅲ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╱ 1/3 1
╱ ┌─ 換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
╱ ┌─Ⅰ(羊) ─└─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
‧── Ⅱ(車) ─┤ 1/2
╲ 1/3 └─Ⅲ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅰ(羊)
╲ 1/2 └─ 不換 1/2 ──── Ⅱ(車)
╲
Ⅲ(羊) ───Ⅰ(羊) ─┌─ 換 1/2 ──── Ⅱ(車)
1/3 1 └─ 不換 1/2 ──── Ⅲ(羊)
◢ ﹏ ◣?
■﹋■
真相只有一個!∕ △ ﹨
/ ﹀@m
╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴
fff0722:(1/3)*(1)*(1/2) + (1/3)*(1)*(1/2)  ̄ ̄ ̄ ̄
=1/3 →選擇換且得獎的機率
--
◢ ﹏ ◣ 結果:在換的前提下得獎機率是…
。﹋。
∕ ︶ ﹨
<﹀─ P(得獎∩換) 1/3 2
─────── = ────── = ──
 ̄ ̄ ̄ ̄ P(換) 1/2 3
--
◢ ﹏ ◣ 當然,在不換的前提下,得獎機率將是:
﹦﹋﹦ 1
∕ ﹏ ﹨ 1-P(得獎|換)= ──
V ﹀)" ↑這是指換的 3
前提下得獎
 ̄ ̄ ̄ ̄ 這是很基本的邏輯,當然你也可以重算一次
P(得獎∩不換)
──────── ,我就不算了XDDDDD
P(不換)
--
◢ ﹏ ◣ 最後我們將得到這結論!
■﹋■
| △ | P(得獎|換)>P(得獎|不換)
/ ﹀ \
也就是說『換』的得獎機率比『不換』來的高,
 ̄ ̄ ̄ ̄ 因此我們該選擇『換』。
--
Charlie:所以你選擇換囉?
◢ ﹏ ◣
$﹋$ 換換換換!我要換!
╯ ﹁ ╰ 哈哈哈哈!我發財了!
\~|﹀|~/ 2/3的機率耶!
 ̄ ̄ ̄ ̄
--
Charlie:好的,恭喜你得到……
◢ ﹏ ◣
≧﹋≦
╯ ▽ ╰ 車~車~車~車~車~
d﹀b
 ̄ ̄ ̄ ̄
--
Charlie:………
◢▃▃▃▃▃▃▃◣
? ▌ _ _ ▌
▌ ▅ ▅ ▌ 咩~
▌ ◢ ̄◢ ̄ ▌ /
▌ ◢ ≡ ◣ ▌
▌◥ 〒 〒 ◤▌
▌ ▌
▌ ▏/ \ ▊ ▌
▌ ◥□ ◤ ▌
▌ ν ▌
◥▅▅▅▅▅▅▅◤
山羊。
--
┘└
…… ┐┌
◢ ﹏ ◣
▁▁▁ ←如果是天生帶賽者就沒辦法了,
│ ▁ │ 畢竟這是機率問題嘛~(  ̄ c ̄)y▂ξ
/﹀\
 ̄ ̄ ̄ ̄
--
再次感謝大家的收看………
▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂▂
◢ ◣ Numb3rs 數學討論
﹨ ∕
◥ ◤ END
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 ̄ ̄ ̄ ̄
(複製上次的貼上XD)
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